円柱の体積・表面積の計算

最終更新: 2026-05-18

直円柱とは

直円柱とは、合同な2つの円を上下の底面とし、軸が底面に垂直な立体です。底面の円の半径 r と高さ h の2つで形が決まり、体積・側面積・全表面積はこの2値だけから求まります。

公式

底面半径を r、高さを h とすると：

値	公式
体積	V = πr²h
側面積	A_側 = 2πrh
全表面積	A_全 = 2πr(r + h)

公式の意味

体積は「底面積 × 高さ」です。底面の円（面積 πr²）を高さ分だけ積み上げたものが円柱なので、底面積に高さを掛けると体積になります。底面の円そのものの面積と円周は で確認できます。

側面積は、側面の筒を縦に切り開くと縦 h・横 2πr（円周）の長方形になることから、2πrh となります。

全表面積は側面積に上底と下底（それぞれ πr²）を加えたもので、2πrh + 2πr² = 2πr(r + h) です。

単位換算：cm³ とリットル

体積の単位換算でよく使う関係は次のとおりです。

• 1 L = 1000 cm³（cm³ を1000で割るとリットル）
• 1 m³ = 1000 L
• 1 m³ = 1,000,000 cm³

350 mL の缶ジュース（r ≈ 3.3 cm、h ≈ 10.2 cm）で確認すると、V = π × 3.3² × 10.2 ≈ 349.7 cm³ ≈ 350 mL となり、ラベルの表記とほぼ一致します。

円柱・円錐・球の比較

底面半径・高さが同じ場合の体積の比較は次のとおりです。

形	体積
円柱	πr²h
円錐	(1/3)πr²h
半球（h = r）	(2/3)πr³

は同じ底面・高さの円柱の 1/3 の体積です（ユークリッドが『原論』で証明）。半径 r の球を高さ 2r・半径 r の円柱に内接させると、 は円柱の 2/3 の体積になります（アルキメデスの定理）。

円柱の半径の測り方

現物の円柱があって直径が測れない場合は、円周（外周）C をメジャーで測り、次の式で半径を求めます。

r = C ÷ (2π)

例えば外周 20.7 cm の缶なら、r = 20.7 ÷ (2π) ≈ 3.3 cm です。精度が重要な場合は、直径をノギスで直接測って2で割るのが確実です。

計算例

給水タンク（r = 0.5 m、h = 1.2 m）：

• 体積 = π × 0.25 × 1.2 ≈ 0.942 m³ = 942リットル
• 側面積 = 2π × 0.5 × 1.2 ≈ 3.77 m²（タンクの胴体部分に必要な鉄板の面積）
• 全表面積 = 2π × 0.5 × (0.5 + 1.2) ≈ 5.34 m²

コップ（r = 4 cm、h = 12 cm）：

• 体積 = π × 16 × 12 ≈ 603 cm³ ≈ 603 mL（大きめのコップ1杯分）

塩ビパイプ（内径 r = 5 cm、長さ h = 2 m）：

• 体積 = π × 0.0025 × 2 ≈ 0.01571 m³ = 15.71リットル（満水時の水量）

よくある質問 (FAQ)

円柱の体積の求め方は？

直円柱の体積は V = πr²h で求められます（r：底面半径、h：高さ）。例えば r = 5 cm、h = 10 cm の円柱なら、V = π × 25 × 10 ≈ 785.4 cm³ です。底面積（πr²）に高さを掛けた値で、同じ寸法の円錐の3倍にあたります。

cm³ をリットルに換算するには？

1リットル = 1000 cm³ なので、cm³の値を1000で割るとリットルになります。例えば 785.4 cm³ ÷ 1000 = 0.7854 L です。また 1 m³ = 1000 L、1 L = 0.001 m³ の関係も覚えておくと便利です。

円柱の表面積の求め方は？

表面積は「側面積 + 上下の底面積」の合計です。側面積 = 2πrh、底面積（2枚分）= 2πr²、全表面積 = 2πr(r + h)。例えば r = 5 cm、h = 10 cm なら全表面積 = 2π × 5 × (5 + 10) = 150π ≈ 471.2 cm² です。側面を展開すると幅2πr・高さhの長方形になります。

円柱の半径を測るには？

底面の直径を測って2で割ると半径が求まります。缶や管は外周（円周）をメジャーで測り r = C ÷ (2π) で計算することもできます。精度が必要な場合はノギス（デジタルキャリパー）を使うと正確です。