楕円の面積・周の長さの計算

最終更新: 2026-05-18

楕円とは

楕円は、2つの定点（焦点）からの距離の和が一定になる点の軌跡として定義される閉じた曲線です。2つの焦点が一致すると楕円は円になるため、円は楕円の特別な場合といえます。

楕円には2本の対称軸があります。

• 長軸：2つの焦点を通る最長の直径。その半分が長半径 a。
• 短軸：長軸に直交する最短の直径。その半分が短半径 b。

慣例として a ≥ b > 0 とします。この計算機でも長半径が短半径以上であることが必要です。

面積の公式

楕円の面積は次の式で求められます：

A = π × a × b

この正確な公式はアルキメデスが「円の測定」で「取り尽くし法」を使って初めて証明しました。a = b = r のとき円の面積 πr² に一致する、見事に単純な式です。

例：a = 6 cm、b = 4 cm の楕円の面積

A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75.40 cm²

周の長さ（近似）

面積と異なり、楕円の周には単純な閉じた形の公式が存在しません。正確な値は楕円積分と呼ばれる積分で与えられ、三角関数や平方根だけでは表せません。

この計算機では精度が非常に高いラマヌジャンの第1近似式（1914年）を使用します：

$P \approx \pi \times [3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}]$

a = b = r（円）のとき：

$P = \pi \times [3(2r) - \sqrt{4r \times 4r}] = \pi \times [6r - 4r] = 2\pi r$（厳密に正確）

ほとんどの楕円で誤差は 0.0001% 未満であり、実用上は十分な精度があります。

計算例

a = 6 cm、b = 4 cm の楕円の周の長さ：

$P \approx \pi \times [3(6 + 4) - \sqrt{(3 \times 6 + 4)(6 + 3 \times 4)}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{22 \times 18}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{396}]$

= π × [30 − 19.90...]
≈ π × 10.10
≈ 31.73 cm

離心率

離心率 e は楕円がどれだけ円から外れているかを表します：

$e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$

形状	離心率
真円	e = 0
わずかに扁平	e ≈ 0.1〜0.3
中程度に細長い	e ≈ 0.5〜0.7
非常に細長い	e → 1

楕円の離心率は常に 0 以上 1 未満です。

実際の例

惑星の公転軌道はケプラーの第1法則により楕円形で、太陽が一方の焦点に位置します：

天体	長半径	離心率
地球の軌道	約 1 億 4960 万 km	≈ 0.017
火星の軌道	約 2 億 2790 万 km	≈ 0.093
ハレー彗星	約 26 億 7800 万 km	≈ 0.967

地球の軌道はほぼ円形（e ≈ 0.017）なので、季節の変化は地軸の傾きによるものであり、太陽からの距離変化によるものではありません。

陸上競技のトラックは半円2つと直線2本を組み合わせた形をしており、曲線部分は半楕円または半円に近い形です。標準的な 400 m トラックは全周ちょうど 400 m です。

たまごは楕円形に見えますが、厳密には楕円ではありません。一端がより尖っており、長軸に対して非対称なため、数学的な楕円の定義を満たしません。

よくある質問 (FAQ)

楕円の面積の求め方は？

楕円の面積は A = π × a × b で求められます（a：長半径、b：短半径）。この公式はアルキメデスが最初に導きました。例えば a = 6 cm、b = 4 cm の楕円なら A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75.40 cm² です。a = b = r のとき円の面積 πr² に一致します。

楕円の周の長さを正確に求める公式はありますか？

楕円の周は「楕円積分」と呼ばれる積分でしか正確に表せず、三角関数や平方根を使った単純な閉じた式は存在しません。実用上はラマヌジャンの第1近似式 P ≈ π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))] が広く使われます。a = b（円）のとき完全に正確な 2πr になり、楕円全般の誤差は 0.0001% 未満です。

離心率とは何を表す値ですか？

離心率 e = √(1 − (b/a)²) は、楕円がどれだけ「つぶれているか」を表す指標です。e = 0 は真円、e が 1 に近いほど細長い楕円になります。地球の公転軌道は e ≈ 0.017 でほぼ円形、ハレー彗星の軌道は e ≈ 0.967 で非常に細長い形をしています。

楕円と卵形の違いは？

楕円は数学的に厳密な図形で、2つの焦点からの距離の和が一定という性質を持ちます。卵形（オーバル）は「滑らかで丸い閉じた曲線」を指す非公式な用語で、たまごの形は左右非対称のため楕円ではありません。楕円はすべてオーバルですが、オーバルが楕円とは限りません。