正三角形の計算

最終更新: 2026-05-18

正三角形とは

正三角形は3辺がすべて等しく、3つの内角がすべて60°の三角形です。対称性が高く、1つの値——辺の長さ——だけで高さ・面積・周長・外接円半径・内接円半径のすべてが決まります。

高さの公式

任意の頂点から対辺に垂線を下ろすと、対辺がちょうど二等分されます。こうして斜辺 $a$、短辺 $a/2$ の30-60-90三角形が2つ作られます。ピタゴラスの定理より：

$h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$a = 6$ のとき：$h = 3\sqrt{3} \approx 5.196$

面積の公式

底辺 × 高さ ÷ 2 の公式に代入すると：

$S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$a = 6$ のとき：$S = 9\sqrt{3} \approx 15.588$

外接円半径と内接円半径

外接円半径 $R$（3頂点を通る円の半径）：

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

内接円半径 $r$（3辺すべてに接する内接円の半径）：

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{h}{3}$

注目すべき関係式：$R = 2r$。正三角形では外心・内心・重心・垂心がすべて一致します。

辺 $a$	高さ $h$	面積 $S$	$R$	$r$
1	0.866	0.433	0.577	0.289
6	5.196	15.588	3.464	1.732
10	8.660	43.301	5.774	2.887

30-60-90三角形との関係

正三角形は3本の中線で6つの合同な30-60-90三角形に分割できます。30-60-90三角形の3辺の比は $1 : \sqrt{3} : 2$ であるため、正三角形のすべての公式に $\sqrt{3}$ が登場します。

R = 2r となる理由

重心（外心・内心を兼ねる）を原点に置くと、各中線の長さは $h = a\sqrt{3}/2$ です。重心は各中線を頂点から $2:1$ に内分します。

• 頂点から重心までの距離：$\tfrac{2}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{3} = R$ ✓
• 辺の中点から重心までの距離：$\tfrac{1}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{6} = r$ ✓
• よって $R = 2r$ ✓

よくある質問 (FAQ)

正三角形の面積はどうやって求めますか？

一辺が a の正三角形の面積は S = (√3 ÷ 4) × a² です。例えば a = 6 の場合、S = (√3 ÷ 4) × 36 = 9√3 ≈ 15.588 になります。これは「底辺 × 高さ ÷ 2」の公式に、高さ h = a√3 ÷ 2 を代入することで導けます。

正三角形の高さの求め方を教えてください

任意の頂点から対辺に垂線を下ろすと、対辺がちょうど二等分され、斜辺 a・短辺 a/2 の 30-60-90 三角形が 2 つできます。ピタゴラスの定理より h² = a² − (a/2)² = 3a²/4 となり、h = a√3 ÷ 2 が得られます。a = 6 のとき h = 3√3 ≈ 5.196 です。

正三角形の外接円半径はいくつですか？

外接円半径 R（3頂点を通る円の半径）は R = a√3 ÷ 3 = a ÷ √3 です。a = 6 のとき R = 6 ÷ √3 = 2√3 ≈ 3.464 になります。正弦定理の拡張形 R = a ÷ (2 sin 60°) = a ÷ √3 から導けます。

正三角形では外接円半径が内接円半径の 2 倍になるのはなぜですか？

正三角形では R = a√3 ÷ 3、r = a√3 ÷ 6 となるため、R = 2r が成り立ちます。幾何学的には、外心・内心・重心・垂心がすべて一致しているためです。重心は各中線を頂点から 2:1 に内分するので、頂点からの距離が R、辺の中点からの距離が r となります。