正弦定理 — AAS（二角一辺）の計算

最終更新: 2026-05-19

この計算機でできること

正弦定理は三角形の各辺と、その対角の正弦（sin）を結ぶ基本公式です。2つの角度と片方の対辺（AAS配置）がわかれば、この計算機が第三角度・残りの2辺・面積・外接円半径をすべて求めます。

正弦定理とは

辺 $a$、$b$、$c$ と対角 $A$、$B$、$C$ を持つ任意の三角形について：

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

この共通比が外接円の直径に等しいことが、正弦定理の本質です。

AAS三角形の解き方

既知の値： 角 $A$、辺 $a$（$A$ の対辺）、角 $B$

ステップ1：第三角を求める

$C = 180° - A - B$

2つの角がわかれば三角形の形が確定し、既知の辺がそのスケールを決めます。

ステップ2：未知の辺を求める

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}, \qquad c = \frac{a \sin C}{\sin A}$

ステップ3：面積を求める

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

ステップ4：外接円半径を求める

$R = \frac{a}{2 \sin A}$

計算例

入力値： $A = 30°$、$a = 10$、$B = 45°$

$C = 180° - 30° - 45° = 105°$

$b = \frac{10 \sin 45°}{\sin 30°} = \frac{10 \times \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14.142$

$c = \frac{10 \sin 105°}{\sin 30°} = \frac{10 \times 0.9659}{0.5} \approx 19.319$

$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 14.142 \times \sin 105° \approx 68.30$

$R = \frac{10}{2 \sin 30°} = \frac{10}{2 \times 0.5} = 10$

検算：$b/\sin B = 14.142 / \sin 45° = 14.142 / 0.7071 = 20 = 2R$ となり、定理が成立しています。

公式の由来：外接円からの導出

三角形の外接円（半径 $R$）を描き、頂点 $A$ から直径を引いて円上の点 $D$ を取ります。半円に対する円周角は直角（タレスの定理）なので $\angle ABD = 90°$ となり、$\sin(\angle ADB) = a/(2R)$ が成り立ちます。

円周角の定理より $\angle ADB = A$（どちらも弧 $BC$ に対する円周角）なので：

$\sin A = \frac{a}{2R} \implies \frac{a}{\sin A} = 2R$

$b$、$c$ についても同様に成り立つため、三辺すべてで共通比 $2R$ が導かれます。

正弦定理と余弦定理の使い分け

既知の情報	使う定理
2角度 + 任意の1辺（AAS・ASA）	正弦定理
2辺 + 挟む角（SAS）	余弦定理
3辺すべて（SSS）	余弦定理
2辺 + 非挟角（SSA）	正弦定理（2解問題に注意）

見分け方の目安は、既知の角度の「真向かい」に既知の辺があれば正弦定理、なければ余弦定理です。

2解問題（曖昧なケース）

2解問題が起きるのは SSA配置（2辺と非挟角）のときだけです。対辺 $a$ が高さ $h = b \sin A$ より短いと三角形が存在せず、$h < a < b$ のとき2種類の三角形が成立します。

本計算機が使うAAS配置では、2角度が決まれば $C = 180° − A − B$ で第三角が一意に定まるため、2解問題は生じません。

よくある質問 (FAQ)

正弦定理と余弦定理はどう使い分けますか？

角度とその対辺がわかっているとき（AAS・ASA）は正弦定理を使います。2辺とその挟む角（SAS）や3辺すべて（SSS）がわかっているときは余弦定理が適しています。判断の目安は「既知の角度の真向かいに既知の辺があるかどうか」。あれば正弦定理、なければ余弦定理です。

正弦定理の「2解問題（曖昧なケース）」とは何ですか

2辺と非挟角（SSA）の組み合わせでは、条件を満たす三角形が2つ存在することがあります。対辺aが高さ h = b sin A より短いと三角形は存在せず、a = h なら直角三角形が1つ、h < a < b のとき2つの三角形ができます。これが「2解問題」です。本計算機はAAS（2つの角度と1辺）を使うため、第三角は C = 180° − A − B で一意に決まり、2解問題は発生しません。

正弦定理と外接円の半径はどう関係していますか？

拡張正弦定理は a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R と表され、この共通比が外接円の直径に等しくなります。したがって外接円半径は R = a / (2 sin A) で直接求められます。直角三角形（C = 90°、sin 90° = 1）の場合は R = c/2 となり、外接円の半径が斜辺の半分になるという有名な性質が導かれます。

ASAとAASの違いは何ですか？

ASA（角辺角）は既知の辺が2つの角の間にある（挟み辺）配置です。AAS（角角辺）は既知の辺が角と角の間になく、いずれかの角の対辺になっている配置です。どちらも三角形を一意に決定でき、計算手順は同じ——C = 180° − A − B で第三角を求め、正弦定理で残りの辺を計算します。違いは幾何学の合同証明では意味を持ちますが、数値計算上は区別不要です。