四角錐の体積・表面積の計算

最終更新: 2026-05-18

角錐とは

角錐（かくすい）は、多角形の底面とそこから頂点へ向かう三角形の側面で構成される立体です。底面が長方形（正方形を含む）で、頂点が底面の中心の真上にある直角錐では、底辺の長さ・幅・垂直高さから体積と表面積が一意に定まります。

計算式

底辺の長さ $l$、幅 $w$、垂直高さ $h$ を使って計算します。

底面積:

$$A_b = l \times w$$

体積 — 同じ底面・高さの角柱の $\frac{1}{3}$:

$$V = \frac{1}{3} \times A_b \times h = \frac{l \times w \times h}{3}$$

斜高（斜面の高さ） — 頂点から底辺の中点までの距離。長方形底面では前後・左右で異なります:

$$l_{s,w} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2} \quad \text{（前後面）}$$ $$l_{s,l} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2} \quad \text{（左右面）}$$

正四角錐（$l = w = a$）では両者が等しくなります: $l_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}$

側面積 — 4つの三角形面の合計:

$$A_{lat} = l \cdot l_{s,w} + w \cdot l_{s,l}$$

全表面積:

$$A_{tot} = A_b + A_{lat}$$

体積に $\frac{1}{3}$ が付く理由

角錐の体積が角柱の $\frac{1}{3}$ になることは、古代から知られています。最も直感的な証明は、3つの合同な四角錐を組み合わせると立方体が完成するというものです。それぞれが立方体の $\frac{1}{3}$ を占めることが、そのまま公式の根拠になっています。より一般的な証明では、カバリエリの原理を使います。高さ $z$ における断面積は $A_b \times (1 - z/h)^2$ となり、$z = 0$ から $z = h$ まで積分すると $\frac{1}{3} A_b h$ が得られます。

斜高と垂直高さの違い

垂直高さ $h$ は頂点から底面に垂直に下ろした距離、つまり「ピラミッドの高さ」そのものです。一方、斜高 $l_s$ は頂点から底辺の中点までを斜面に沿って測った距離で、三角形の側面の高さに相当します。ピラミッドの表面に定規を当てて峰から底辺中央まで測ったときに得られる値です。

両者の関係は直角三角形で表せます: $l_s = \sqrt{h^2 + r^2}$（$r$ は底面の中心から底辺中点までの距離）。

計算例：ギザの大ピラミッド

ギザの大ピラミッド（エジプト）は底辺約 230.4 m の正方形、元の高さ約 146.5 m です。

底面積: $A_b = 230.4^2 = 53{,}084 \text{ m}^2 \approx 5.3 \text{ ha}$

体積: $V = \frac{1}{3} \times 53{,}084 \times 146.5 \approx 2{,}592{,}000 \text{ m}^3$

約 260 万立方メートルにあたります。

斜高: $l_s = \sqrt{146.5^2 + 115.2^2} \approx 186.4 \text{ m}$

底面が正方形でない場合は、前後面と左右面で斜高が異なります。各面の斜高は対応する半辺（$w/2$ または $l/2$）を用いて個別に求め、側面積を 4 面分合計します。

よくある質問 (FAQ)

四角錐の体積の公式は？

四角錐の体積は V = (1/3) × 底面積 × 高さで求められます。底面が縦l・横wの長方形なら V = (1/3) × l × w × h です。例えば底面40cm × 40cm、高さ30cmの正四角錐なら V = (1/3) × 0.16 × 0.30 ≈ 0.016 m³（約16リットル）です。

なぜ四角錐の体積は「3分の1」になるのですか？

同じ底面積・高さの四角柱（直方体）を3つの合同な四角錐に分割できることを示せます。これはキャバリエリの原理でも証明でき、どんな形の錐体（三角錐・円錐・多角錐）でも「底面積 × 高さの3分の1」というルールは共通です。古代から知られていた幾何学の基本定理です。

四角錐の斜面の高さ（母線）はどう求めますか？

斜面の高さ（母線）は、頂点から底面の辺の中点まで測った距離で、各三角形の面の高さにあたります。底面の横wに対する面の母線：l_s = √(h² + (w/2)²)。正四角錐（縦=横=a）では全面同じ：l_s = √(h² + (a/2)²)。底面40×40cm・高さ30cmなら l_s = √(0.09 + 0.04) = √0.13 ≈ 36.1 cm です。

四角錐の表面積の求め方は？

全表面積 = 底面積 + 側面積。正四角錐（一辺a、母線l_s）なら：全表面積 = a² + 2 × a × l_s。4つの合同な三角形の面積は各(1/2) × a × l_s で合計 2al_s です。底面40cm・母線36.1cmなら SA = 1600 + 2 × 40 × 36.1 ≈ 4488 cm²。