二次方程式の解

最終更新: 2026-05-13

二次方程式とは

二次方程式とは、最高次の項が $x^2$ である方程式のことです。標準形は次のように表されます。

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

$a$、$b$、$c$ は実数の係数で、$a \neq 0$ でなければなりません。$a = 0$ の場合は一次方程式になってしまいます。

解の公式

二次方程式の解は次の公式で求められます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この公式の ± から2つの解が生まれます。

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

判別式の役割

根号の中の式 $D = b^2 - 4ac$ を判別式と呼びます。判別式の符号によって解の性質が決まります。

判別式	解の性質
$D > 0$	異なる2つの実数解
$D = 0$	重解（1つの実数解）
$D < 0$	2つの共役複素数解

重解の場合（D = 0）

判別式がゼロのとき、$x_1 = x_2$ となり、解は1つになります。

$x = -\frac{b}{2a}$

これは放物線の頂点の $x$ 座標と一致します。

複素数解の場合（D < 0）

判別式が負のとき、$\sqrt{D}$ は実数の範囲で定義できません。このとき解は複素数になります。

$x = \alpha \pm \beta i$

ここで

$\alpha = -\frac{b}{2a}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-D}}{2|a|}$

$\alpha$ が実部、$\beta$ が虚部です。実数係数の二次方程式では、複素数解は必ず共役ペアとして現れます。

例：$x^2 - 3x + 2 = 0$

$a = 1$、$b = -3$、$c = 2$ とすると

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

$x_1 = 2, \qquad x_2 = 1$

例：$x^2 + x + 1 = 0$（複素数解）

$a = 1$、$b = 1$、$c = 1$ とすると

$D = 1 - 4 = -3 < 0$

よって実数解は存在せず、複素数解を持ちます。

$\alpha = -\frac{1}{2} = -0.5, \qquad \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$x = -0.5 \pm 0.866\,i$

放物線 $y = x^2 + x + 1$ は $x$ 軸とどこでも交わらないため、解は実数ではありません。

放物線との関係

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標に対応します。

• $D > 0$：放物線が $x$ 軸と2点で交わる
• $D = 0$：放物線が $x$ 軸に接する（頂点が $x$ 軸上にある）
• $D < 0$：放物線が $x$ 軸と交わらない（すべての $x$ について $y \neq 0$）

計算機の使い方

係数 $a$、$b$、$c$ を入力すると、判別式と解が計算されます。判別式の符号に応じて、表示されるセクションが切り替わります。

• 判別式が0以上のとき：「実数解」セクションに $x_1$、$x_2$ が表示されます。
• 判別式が負のとき：「複素数解」セクションに実部 $\alpha$ と虚部 $\beta$ が表示されます。

よくある質問 (FAQ)

二次方程式の解の公式とは何ですか？

ax² + bx + c = 0 の解は x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) で表されます。± の符号から2つの解が得られ、+ のものを x₁、− のものを x₂ と呼びます。これらは放物線 y = ax² + bx + c の x 軸との交点に対応します。

判別式は何を表していますか？

判別式 D = b² − 4ac は解の性質を決定します。D > 0 のとき、異なる2つの実数解があります。D = 0 のとき、重解が1つあります（x₁ = x₂ = −b ÷ 2a）。D < 0 のとき、実数解は存在せず、2つの共役複素数解を持ちます。

D < 0 のとき複素数解はどうなりますか？

判別式が負のとき、解は共役複素数 x = α ± βi の形をとります。α = −b ÷ (2a) が実部、β = √(−D) ÷ (2|a|) が虚部です。実数係数の方程式では、複素数解は必ず共役ペアとして現れます。