直角二等辺三角形（45-45-90）の計算

最終更新: 2026-05-18

直角二等辺三角形（45-45-90）とは

直角二等辺三角形は、2つの角がそれぞれ 45°、残り 1 つが 90° の三角形です。2 つの直角挟辺が等しいため「二等辺」であり、直角を持つため「直角」という名称がついています。辺の比は $1 : 1 : \sqrt{2}$ で、30-60-90 三角形（$1 : \sqrt{3} : 2$）と並ぶ代表的な特殊比のひとつです。

正方形との関係

1 辺が $l$ の正方形を対角線で切ると、2 つの合同な直角二等辺三角形が現れます。それぞれの直角挟辺は正方形の辺の長さに等しく、斜辺は正方形の対角線の長さに一致します。このことが、幾何学で $\sqrt{2}$ が頻繁に登場する理由です。$\sqrt{2}$ は正方形の「対角線 ÷ 辺」の比そのものです。

公式一覧

直角挟辺の長さを $l$ とします。

求める量	公式
斜辺 $c$	$l\sqrt{2}$
面積 $S$	$l^2 / 2$
周長 $P$	$l(2 + \sqrt{2})$

既知の値	直角挟辺 $l$	斜辺 $c$	面積 $S$
直角挟辺 $l$ から	—	$l\sqrt{2}$	$l^2/2$
斜辺 $c$ から	$c/\sqrt{2}$	—	$c^2/4$
面積 $S$ から	$\sqrt{2S}$	$2\sqrt{S}$	—

計算例

$l = 5$ のとき：

$c = 5\sqrt{2} \approx 7.071, \quad S = \frac{25}{2} = 12.5, \quad P = 5(2+\sqrt{2}) \approx 17.07$

公式の導出

斜辺： ピタゴラスの定理を等辺 $l$ に適用します。

$c = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$

面積： 底辺と高さがともに $l$ なので：

$S = \frac{1}{2} \times l \times l = \frac{l^2}{2}$

斜辺から逆算： $l = c/\sqrt{2}$ を代入すると $S = l^2/2 = (c/\sqrt{2})^2/2 = c^2/4$。

面積から逆算： $S = l^2/2$ を解くと $l = \sqrt{2S}$、斜辺は $c = l\sqrt{2} = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$。

補足

• 直角二等辺三角形は「頂角が 90° の二等辺三角形」の特殊ケースです。
• 外接円の半径 $R = c/2$（直角が直径に対する円周角だから）。
• 内接円の半径 $r = l(2-\sqrt{2})/2$。

よくある質問 (FAQ)

45-45-90 三角形の辺の比はどうなりますか？

直角二等辺三角形の2つの直角挟辺は等しく、辺の比は直角挟辺：直角挟辺：斜辺 ＝ 1：1：√2 です。直角挟辺を l とすると、斜辺は l√2 ≈ 1.414l になります。例えば直角挟辺が 5 のとき、斜辺は 5√2 ≈ 7.071 です。この三角形は正方形の対角線を引くと自然に現れます。1辺が l の正方形を対角線で切ると、ちょうど2つの直角二等辺三角形になります。

直角挟辺から斜辺を求めるにはどうすればよいですか？

ピタゴラスの定理を使います。c = √(l² + l²) = √(2l²) = l√2 です。l = 5 のとき、c = 5√2 ≈ 7.071。面積は S = l²/2（底辺と高さがどちらも l で等しいため）、周長は P = 2l + l√2 = l(2 + √2) ≈ 3.414l となります。

斜辺がわかっているとき直角挟辺を求めるには？

l√2 = c を変形すると l = c ÷ √2 = c√2 ÷ 2 です。c = 10 のとき、l = 10 ÷ √2 ≈ 7.071。面積は S = c²/4（S = l²/2 = (c/√2)²/2 = c²/4）、周長は P = c(1 + √2) ≈ 2.414c となります。