直角三角形の計算

最終更新: 2026-05-19

直角三角形の計算とは

直角三角形は内角のひとつが 90° の三角形です。2つの辺、または辺と角度の組み合わせがわかれば、残りすべての要素を三角関数と三平方の定理で求められます。この計算機は 4 種類の入力パターンに対応しており、面積と周長も同時に出力します。

4つの入力モード

モード	わかっている値	求まる値
2直角辺	直角辺 a と b	斜辺 c、角A、角B、面積、周長
直角辺＋斜辺	直角辺 a と斜辺 c	直角辺 b、角A、角B、面積、周長
直角辺＋角度	直角辺 a と角A	直角辺 b、斜辺 c、角B、面積、周長
斜辺＋角度	斜辺 c と角A	直角辺 a と b、角B、面積、周長

三平方の定理（ピタゴラスの定理）

直角三角形の基本公式は：

a² + b² = c²

a・b は直角辺（直角をはさむ2辺）、c は斜辺（直角の向かいにある最長辺）です。2直角辺がわかれば斜辺は $c = \sqrt{a^2 + b^2}$、斜辺と1辺がわかれば残りの辺は $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ で求まります。

計算例： 横に 3.5 m 伸びた坂道が垂直に 1.2 m 上がっているとき、斜面の長さは $\sqrt{1.2^2 + 3.5^2} = \sqrt{1.44 + 12.25} = \sqrt{13.69} \approx 3.70$ m です。

サイン・コサイン・タンジェント（sin / cos / tan）

直角三角形では3つの三角比が角度と辺の比を結びつけます：

• sin A = 対辺 / 斜辺 = a / c
• cos A = 隣辺 / 斜辺 = b / c
• tan A = 対辺 / 隣辺 = a / b

これを逆用すると、辺の比から角度が、角度から辺の長さが求まります：

• 辺から角度： A = arctan(a / b)、または斜辺がわかっているなら A = arcsin(a / c)
• 斜辺と角度から辺： a = c × sin A、b = c × cos A
• 直角辺と角度から辺： b = a / tan A

式が成り立つ理由： 単位円上の点を角度 A だけ回転させると座標 (cos A, sin A) になります。この座標が直角三角形の「隣辺 / 斜辺」「対辺 / 斜辺」の比に対応しているため、三角比は普遍的な関係を表します。

面積と周長

3辺すべてがわかったあと：

• 面積 = a × b ÷ 2（直角辺どうしの積の半分）
• 周長 = a + b + c

計算例： 直角辺が 7 cm と 24 cm の直角三角形の面積は ½ × 7 × 24 = 84 cm²、斜辺は $\sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ cm、周長は 7 + 24 + 25 = 56 cm です。7-24-25 はピタゴラス数の一例です。

各モードの使いどころ

2直角辺モード は最もよく使うパターンで、直角三角形の「底辺と高さ」がわかっている場面（はしごと壁の問題、地図上の距離計算など）に対応します。

直角辺＋斜辺モード は斜面の長さ（斜辺）と水平距離（直角辺）がわかっているときに使います。屋根の垂木の長さと軒の出がわかっている場合などに便利です。

直角辺＋角度モード は測量・工学で頻出です。傾斜角と水平距離から高さと斜面長を求める場面に対応します。例：傾斜 30°、水平距離 5 m のスロープの長さは 5 ÷ cos 30° ≈ 5.77 m、高さは 5 × tan 30° ≈ 2.89 m です。

斜辺＋角度モード は物理のベクトル分解に対応します。大きさ c、角度 A の力やベクトルの水平成分は c × cos A、垂直成分は c × sin A です。

よくある質問 (FAQ)

ピタゴラスの定理の計算機と何が違うの？

三平方の定理（ピタゴラスの定理）の計算機は「2辺から残りの1辺を求める」用途に特化しています。この直角三角形計算機はそれに加えて、角度から辺を求めるモード（三角関数を使った計算）も搭載しています。「斜辺と角度から直角辺を求めたい」「2辺から角度も一緒に知りたい」という場面に対応しており、面積・周長も同時に出力します。

直角三角形の角度を2辺から求めるには？

「2直角辺モード」では角A = arctan(a / b)、「直角辺＋斜辺モード」では角A = arcsin(a / c) で求まります。いずれのモードでも角B = 90° − A が自動で計算されます。例：直角辺 3・4 の場合、角A = arctan(3 / 4) ≈ 36.87°、角B ≈ 53.13° です。

斜辺と角度から直角辺の長さを求めたい

「斜辺＋角度モード」を選んでください。斜辺 c と角A を入力すると、直角辺 a = c × sin(A)、直角辺 b = c × cos(A) が計算されます。例：斜辺 = 10、角A = 37° のとき、a = 10 × sin 37° ≈ 6.02、b = 10 × cos 37° ≈ 7.99 です。これは「サイン＝対辺/斜辺・コサイン＝隣辺/斜辺」のSOHCAHの直接応用です。

45°の直角三角形の辺の比は？

45°-45°-90° の直角二等辺三角形は2本の直角辺が等しく、斜辺 = 直角辺 × √2 ≈ 1.4142 × 直角辺という比になります。直角辺 a = 1 のとき、斜辺は √2 ≈ 1.414、面積は 0.5 です。高校数学で頻出の比「1：1：√2」がこの三角形の特徴です。詳しくは直角二等辺三角形計算機もご利用ください。