三角形の計算（ASA）― 1辺と2角から全要素を求める

最終更新: 2026-05-18

1辺と2角から三角形を解く（ASA）

ASA（角・辺・角）は、1辺の長さとその両端の角度が既知の条件です。三角形の内角の和は必ず180°になるため、第三角は足し算だけで求まります。そこから正弦定理を用いて残りの2辺を導き、面積・外接円半径・内接円半径を計算します。

第三角の決定

$C = 180° - A - B$

この計算に三角関数は不要です。2角が決まれば三角形の形は完全に定まり、辺の長さがその大きさを決めます。

正弦定理による未知の辺の算出

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

既知の辺 $c$ と導出した角 $C$ を使って：

$a = \frac{c \sin A}{\sin C}, \qquad b = \frac{c \sin B}{\sin C}$

計算例 — $c = 8$、$A = 50°$、$B = 60°$：

$C = 180° - 50° - 60° = 70°$

$a = \frac{8 \sin 50°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0.766}{0.940} \approx 6.527$

$b = \frac{8 \sin 60°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0.866}{0.940} \approx 7.378$

面積の計算

ASA の入力値から辺を求めずに面積を直接計算できます。

$S = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}$

辺を先に求めてから面積公式に代入する手順と異なり、中間計算での丸め誤差が入り込まないという利点があります。

外接円半径

正弦定理の共通比は外接円の直径と等しくなります。

$\frac{c}{\sin C} = 2R \implies R = \frac{c}{2\sin C}$

上の例では $R = 8 \div (2\sin 70°) \approx 4.257$ です。直角三角形（$C = 90°$）では $\sin 90° = 1$ なので $R = c/2$、つまり外接円半径は斜辺の半分になります。

内接円半径

$r = \frac{S}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}$

ASA と AAS の違い

• ASA：既知の辺が2角の間にある（辺が内接する）。
• AAS：既知の辺が2角の間にない。

数値計算では、どちらも $C = 180° - A - B$ を求めた後に正弦定理で同じように解きます。ユークリッド幾何学の合同証明では区別が必要ですが、計算上は差がありません。

正弦定理が使えない場合

SSA（2辺と対角）に正弦定理を適用すると、同じ測定値を満たす三角形が2通り存在する「曖昧なケース」が生じます。本計算機は既知の辺の両端の角度を使う ASA 条件のみを扱うため、このような曖昧さは生じません。

よくある質問 (FAQ)

1辺と2角がわかっているとき、三角形の残りの要素はどう求めますか？

まず第三角を C = 180° − A − B で求めます。次に正弦定理（a ÷ sin A = c ÷ sin C）を使って未知の辺を計算します。a = c × sin A ÷ sin C、b = c × sin B ÷ sin C です。例えば c = 8、A = 50°、B = 60° の場合：C = 70°、a = 8 × sin 50° ÷ sin 70° ≈ 6.527、b = 8 × sin 60° ÷ sin 70° ≈ 7.378 となります。

正弦定理とは何ですか？

正弦定理は「a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R」（R は外接円半径）という等式です。この共通の比は外接円の直径に等しくなります。角とその対辺がわかっているとき（ASA・AAS）に正弦定理を使い、2辺とその間の角がわかっているとき（SAS・SSS）には余弦定理を使います。

外接円半径と正弦定理の関係は何ですか？

正弦定理の拡張形から、外接円半径は R = c ÷ (2 sin C) で直接求まります。すなわち、任意の辺をその対角のサインの2倍で割った値が外接円半径です。直角三角形（C = 90°）では sin 90° = 1 なので R = c ÷ 2 となり、外接円半径が斜辺の半分になるという有名な結果が得られます。ASAの場合は既知の辺 c と導出した角 C から計算します。

ASA と AAS の違いは何ですか？

ASA（角・辺・角）は既知の辺が2つの角の間にある場合、AAS（角・角・辺）は既知の辺が2つの角の間にない場合を指します。どちらも三角形を一意に決定でき、第三角 C = 180° − A − B を求めた後は正弦定理で同じように解くことができます。数値計算上の違いはありませんが、図形の合同証明では区別が重要です。