三角形の計算（SAS）― 2辺と夾角から全要素を求める

最終更新: 2026-05-18

2辺と夾角から三角形を解く（SAS）

SAS（辺・角・辺）とは、2辺の長さとその間に挟まれた角（夾角）が既知である三角形の条件を指します。この条件では余弦定理で未知の第三辺を求め、続いて全角度・面積・外接円半径・内接円半径を導出できます。

第三辺の求め方

辺 $a$、$b$ とその夾角 $C$ が既知のとき、$C$ の対辺 $c$ は次の式で求められます。

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

計算例 — $a = 5$、$b = 7$、$C = 60°$：

$c = \sqrt{25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°} = \sqrt{74 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.245$

$C = 90°$ のとき $\cos 90° = 0$ となり、$c = \sqrt{a^2 + b^2}$（ピタゴラスの定理）に帰着します。

SASから面積を求める

三角形の面積は、$c$ を求めなくても2辺と夾角から直接計算できます。

$S = \frac{1}{2}\,ab\sin C$

上の例では $S = \tfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \tfrac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.155$ です。

残りの角度の求め方

$c$ が判明したら、余弦定理をもう一度適用して角 $A$ を求めます。

$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

その後 $B = 180° - A - C$。

正弦定理（$A = \arcsin(a\sin C \div c)$）でも求められますが、arcsin は鈍角のとき二値になる可能性があるため、余弦定理による計算が安全です。

外接円半径と内接円半径

3辺と面積が揃ったら、以下の式で各半径を求めます。

$R = \frac{abc}{4S}, \qquad r = \frac{S}{s} \quad\text{ここで } s = \frac{a+b+c}{2}$

直角三角形（$a = 3$、$b = 4$、$C = 90°$）の場合：$c = 5$、$S = 6$、$R = 2.5$、$r = 1$。

SAS と SSS の使い分け

既知の要素	求める要素	手順
SSS（3辺）	全角度	余弦定理（3回）＋ヘロンの公式
SAS（2辺＋夾角）	第三辺、次いで角度	余弦定理 → SSS

分度器や測量機器で角度を直接計測できる場合にSASが適しています。第三辺が求まればSSS問題と同じ手順で解けます。

SSA（辺・辺・角）との違い

SASでは角が2辺の間にある必要があります。角が2辺の間にない場合はSSA（辺・辺・角）配置となり、解が0個・1個・2個と不定になります。この計算機は明確なSAS条件のみを扱います。

よくある質問 (FAQ)

2辺と夾角がわかっているとき、残りの1辺はどう求めますか？

余弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C を使います。例として a = 5、b = 7、C = 60°の場合：c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39 なので c = √39 ≈ 6.245 となります。C = 90°のとき cos 90° = 0 となり、ピタゴラスの定理と一致します。

「SAS（辺・角・辺）」とはどういう条件ですか？

SAS（Side-Angle-Side）とは、2辺とその間に挟まれた角（夾角）が既知の場合を指します。三角形の合同条件の一つで、同じSAS構成を持つ2つの三角形は合同です。角が2辺の間にない場合はSSA（辺・辺・角）となり、解が0個・1個・2個と不定になることがあります。

SASで第三辺を求めた後、残りの角度はどう計算しますか？

3辺がすべて求まったら余弦定理を再度適用します。A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)) で角 A を求め、B = 180° − A − C で角 B を得ます。正弦定理 A = arcsin(a sin C ÷ c) も使えますが、arcsin は鈍角の判定に注意が必要なため、余弦定理による計算の方が安全です。

SASとSSS、どちらを使えばいいですか？

3辺がすべて既知ならSSS、2辺とその夾角が既知ならSASを使います。SASでは余弦定理で第三辺を求めてからSSS同様に解きます。分度器や測量機器で角度を直接計測できる場合にSASが多く使われ、3辺すべてを物理的に計測できる場合はSSSが適しています。