三角形の計算（SSS）― 3辺から全要素を求める

最終更新: 2026-05-18

3辺から三角形を解く（SSS）

SSS（Side-Side-Side）は、三角形の3辺の長さがすべてわかっている状態を指します。このとき三角形の形と大きさは一意に定まり、余弦定理とヘロンの公式を用いれば、すべての角度・面積・外接円半径・内接円半径を求められます。

余弦定理

辺 $a$、$b$、$c$ とその対角 $A$、$B$、$C$ の間には次の関係が成り立ちます。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

よって $A = \arccos\!\left(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$。角 $B$ も同様に求め、$C = 180° - A - B$ で角 $C$ を得ます。

計算例 — 3：4：5の直角三角形：

$A = \arccos\!\left(\frac{16 + 25 - 9}{40}\right) = \arccos(0.8) \approx 36.87°$

$B = \arccos\!\left(\frac{9 + 25 - 16}{30}\right) = \arccos(0.6) \approx 53.13°$

$C = 180° - 36.87° - 53.13° = 90°$

三角不等式

どんな3辺でも三角形を構成できるわけではありません。三角不等式が成り立つ必要があります。

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

たとえば辺1・2・10は $1 + 2 = 3 < 10$ となるため三角形になりません。

ヘロンの公式（面積）

角度がわからなくても、3辺から面積を直接求められます。まず半周長 $s$ を計算します。

$s = \frac{a + b + c}{2}$

次にヘロンの公式を適用します。

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

3：4：5の三角形の場合、$s = 6$、$S = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = 6$。

外接円半径と内接円半径

外接円半径 $R$（3頂点を通る円）：

$R = \frac{abc}{4S}$

内接円半径 $r$（3辺に接する円）：

$r = \frac{S}{s}$

3：4：5の三角形では $R = 60/24 = 2.5$、$r = 6/6 = 1$。

直角三角形では $R = c/2$（斜辺の半分）になるという検算が可能です。

ピタゴラスの定理との関係

$C = 90°$ のとき $\cos 90° = 0$ となり、余弦定理は次のように簡略化されます。

$c^2 = a^2 + b^2$

これはピタゴラスの定理そのものであり、余弦定理の特殊ケースといえます。

代表的なピタゴラス数

a	b	c	面積
3	4	5	6
5	12	13	30
8	15	17	60
7	24	25	84

これらの整数の組は各辺を正の整数倍しても成立します（例：6・8・10は3・4・5の2倍）。

よくある質問 (FAQ)

3辺から各角度を求めるにはどうすればいいですか？

余弦定理を使います。辺aの対角Aは、cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc) から A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)) で求められます。同様に角Bを求め、角C = 180° − A − B で計算します。例として3辺が3・4・5のとき、A = arccos(32/40) ≈ 36.87°、B ≈ 53.13°、C = 90°となります。

余弦定理とは何ですか？どのような場面で使いますか？

余弦定理はピタゴラスの定理を一般三角形に拡張したもので、c² = a² + b² − 2ab cos C と表されます。3辺既知（SSS）で角度を求める場合や、2辺と夾角（SAS）から第三辺を求める場合に使います。C = 90°のとき cos 90° = 0 となり、ピタゴラスの定理と一致します。

3辺から外接円・内接円の半径を求める方法は？

外接円半径Rは3頂点を通る円の半径で、R = abc ÷ (4S)（Sは面積）で求めます。内接円半径rは3辺に接する円の半径で、r = S ÷ s（s = (a+b+c) ÷ 2：半周長）です。3-4-5三角形の場合、S = 6 なので R = 60 ÷ 24 = 2.5、r = 6 ÷ 6 = 1 となります。

どんな3つの長さでも三角形を作れますか？

作れません。三角不等式により、どの1辺も他の2辺の和より短くなければなりません（a + b > c、b + c > a、a + c > b）。たとえば1・2・10は 1 + 2 = 3 < 10 のため三角形を構成できません。等号が成立する場合（例：1・2・3）は面積ゼロの退化三角形となります。

SSS法とヘロンの公式の違いは何ですか？

ヘロンの公式は3辺から面積のみを求めますが、SSS法（余弦定理の利用）はさらに全角度・外接円半径・内接円半径も求められます。実際の計算では両方を組み合わせ、まずヘロンの公式で面積を求め、その後 R = abc ÷ (4S)、r = S ÷ s で各半径を算出するのが一般的です。