三角関数の計算（sin・cos・tan）

最終更新: 2026-05-19

三角関数の定義（直角三角形）

三角関数は、角度を辺の比として対応づける関数です。正弦 sin・余弦 cos・正接 tan は、直角三角形における2辺の比として定義され、より一般には単位円上の点の座標として任意の角度に拡張されます。

直角三角形において、鋭角 θ に対して次のように定義されます。

関数	読み	比率
sin(θ)	正弦（サイン）	対辺 ÷ 斜辺
cos(θ)	余弦（コサイン）	底辺 ÷ 斜辺
tan(θ)	正接（タンジェント）	対辺 ÷ 底辺

さらに、これらの逆数として次の3つが定義されます。

• csc(θ) = 1/sin(θ) — 余割（コセカント）
• sec(θ) = 1/cos(θ) — 正割（セカント）
• cot(θ) = cos(θ)/sin(θ) — 余接（コタンジェント）

単位円による拡張

直角三角形の定義は鋭角（0°〜90°）にしか使えません。これを任意の角度に拡張するのが単位円です。

単位円は原点を中心とする半径 1 の円です。正の x 軸から角度 θ だけ反時計回りに進んだ円周上の点の座標が (cos θ, sin θ) と定義されます。

• cos θ = その点の x 座標
• sin θ = その点の y 座標
• tan θ = 原点からその点への直線の傾き（= sin θ / cos θ）

この定義により、負の角度（時計回り）や 360° を超える角度にも三角関数を適用できます。また、単位円の直角三角形にピタゴラスの定理を当てはめると、基本公式が直接導かれます。

sin²θ + cos²θ = 1

計算例：スロープの傾斜角

工事現場のスロープが水平距離 8 m に対して高さ 1.5 m 上がっています。傾斜角と各三角関数の値を求めます。

手順 1 — 傾斜角を求める：

tan(θ) = 対辺 / 底辺 = 1.5 / 8 = 0.1875 なので、θ = arctan(0.1875) ≈ 10.62°

手順 2 — 10.62° における各関数の値：

関数	値	意味
sin(10.62°)	≈ 0.1843	スロープ長 1 m あたり 0.184 m の高さ
cos(10.62°)	≈ 0.9829	スロープ長の 98.3% が水平成分
tan(10.62°)	≈ 0.1875	高さ÷水平距離（勾配）
csc(10.62°)	≈ 5.426	高さ 1 m あたり必要なスロープ長
sec(10.62°)	≈ 1.017	水平 1 m あたりのスロープ長
cot(10.62°)	≈ 5.333	水平距離÷高さ（勾配の逆数）

上の入力欄に 10.62 度を入力すると、同じ値が一覧で表示されます。

代表角の値一覧

θ（度）	θ（ラジアン）	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	π/6	$\tfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}/2$	$1/\sqrt{3}$
45°	π/4	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	1
60°	π/3	$\sqrt{3}/2$	$\tfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	π/2	1	0	未定義
180°	π	0	−1	0
270°	3π/2	−1	0	未定義

30°・45°・60° の値は「 0, $\sqrt{1}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{4}$ を 2 で割ったもの」という覚え方でよく記憶されます。

周期と対称性

三角関数は一定の周期で繰り返します。

• sin・cos：周期 360°（2π ラジアン）— 1 周ごとに同じ値
• tan・cot：周期 180°（π ラジアン）— 半周ごとに同じ値

主な対称性の公式（暗算で役立ちます）：

• sin(−θ) = −sin(θ)：正弦は奇関数
• cos(−θ) = cos(θ)：余弦は偶関数
• sin(180° − θ) = sin(θ)：90° 対称
• cos(180° − θ) = −cos(θ)：90° で符号反転

応用と注意点

三角関数の値は、幾何の角度計算、物理や工学における振動・波動・力の分解、コンピュータグラフィックスの座標変換など、角度と長さの関係を扱う多くの場面で用いられます。角度を度またはラジアンで入力すると、6つの三角関数（正弦・余弦・正接・余割・正割・余接）の値が同時に求められます。

tan・sec・csc・cot は分母が 0 になる角度で定義されません。tan(θ) と sec(θ) は cos θ = 0 となる 90°・270° などで、csc(θ) と cot(θ) は sin θ = 0 となる 0°・180° などで値をもちません。これらの角度では計算結果に「未定義」と表示されます。

よくある質問 (FAQ)

度とラジアン、どちらを使えばいいですか？

日常の幾何では度（°）が直感的です（円の一周 = 360°）。ラジアンは円弧の長さを基準にした単位で、1ラジアン = 弧が半径と等しくなる角度（約 57.3°）、円の一周は 2π ≈ 6.283 ラジアンです。変換式は度 × π/180 = ラジアン、ラジアン × 180/π = 度です。JavaScript・Python・C 言語などは三角関数の引数にラジアンを使うため、プログラムで扱う場合は変換が必要です。

tan(90°) が計算できないのはなぜですか？

正接は sin(θ)/cos(θ) で定義されます。θ = 90° のとき cos(θ) = 0 になるため、0 で割ることになり有限の値が存在しません。θ が 90° に近づくにつれて tan は正の無限大に発散し、90° を超えると負の無限大側から値をとります。これを垂直漸近線と呼びます。同様に 270°・450° など（90° の奇数倍）でも tan と sec は未定義です。

単位円から sin・cos の値をどう読み取るのですか？

単位円は原点を中心とする半径 1 の円です。正の x 軸からの角度 θ（反時計回り）に対応する円周上の点の座標が (cos θ, sin θ) です。x 座標が余弦、y 座標が正弦をそのまま表しています。tan θ はその点と原点を結ぶ直線の傾き（sin θ / cos θ）です。また sin²θ + cos²θ = 1 は、単位円の直角三角形にピタゴラスの定理を当てはめると自然に導かれる基本公式です。

csc・sec・cot とはどんな関数ですか？

三角関数の逆数として定義される3つの関数です。余割 csc(θ) = 1/sin θ、正割 sec(θ) = 1/cos θ、余接 cot(θ) = cos θ/sin θ です。高校課程では sin・cos・tan が中心ですが、大学数学の積分や物理の公式では csc・sec・cot が頻繁に登場します。「余（co-）」という語は補角の関数であることを示しており、csc は cos ではなく sin の逆数である点に注意が必要です。