최종 업데이트: 2026-07-01

반발 계수가 나타내는 것

반발 계수 $e$는 충돌이 얼마나 "잘 튀는지"를 하나의 수로 나타냅니다. 충돌 후 두 물체가 멀어지는 속력을 충돌 전에 가까워지던 속력과 비교합니다.

$e = \frac{\text{relative speed of separation}}{\text{relative speed of approach}}$

두 속력의 비이므로 $e$는 무차원입니다. 일반적인 충돌에서는 0과 1 사이의 값을 가집니다.

• $e = 1$ — 완전 탄성 충돌. 물체가 가까워지던 속력만큼 빠르게 멀어지며, 운동 에너지가 전혀 손실되지 않습니다.
• $e = 0$ — 완전 비탄성 충돌. 물체가 전혀 분리되지 않고 함께 움직이며, 운동량 보존이 허용하는 최대한의 운동 에너지를 잃습니다.

실제 충돌은 이 두 극단 사이에 있습니다. 이 계산기는 낙하-반발 실험으로, 또는 충돌 전후의 속도로 $e$를 두 가지 방법으로 구합니다.

반발 높이로부터

공의 $e$를 측정하는 가장 간단한 방법은 단단하고 고정된 바닥에 떨어뜨려 튀어 오른 높이를 보는 것입니다. 바닥은 거의 움직이지 않으므로 상대 속력은 접촉 순간 공 자체의 속력이 됩니다.

높이 $h_d$에서 떨어뜨린 물체는 속력 $\sqrt{2 g h_d}$로 바닥에 닿고, 높이 $h_b$까지 튀어 오르려면 출발 속력 $\sqrt{2 g h_b}$가 필요합니다. 두 속력의 비가 반발 계수입니다.

$e = \frac{\sqrt{2 g h_b}}{\sqrt{2 g h_d}} = \sqrt{\frac{h_b}{h_d}}$

중력 가속도는 약분되어 사라지고 높이의 비만 남습니다. 반발 높이는 낙하 높이를 넘을 수 없으므로 $e$는 1 이하로 유지됩니다.

속도로부터

두 물체의 일반적인 충돌에서는 충돌선을 따른 속도를 사용합니다. 접근 속도를 $u_1$, $u_2$, 분리 속도를 $v_1'$, $v_2'$라 하면 다음과 같습니다.

$e = \frac{\left|v_2' - v_1'\right|}{\left|u_1 - u_2\right|}$

속도에는 부호가 있습니다. 한 방향을 양으로 정하고 네 값 모두에 그 규약을 유지하므로, 정면으로 가까워지는 두 물체는 부호가 반대입니다. 절댓값 기호 덕분에 결과는 접근 속력과 분리 속력의 크기에만 의존합니다.

예제: 튀어 오르는 공

공을 $h_d = 1\ \text{m}$에서 떨어뜨려 $h_b = 0.6\ \text{m}$까지 튀어 올랐다고 합시다.

$e = \sqrt{\frac{0.6}{1}} = \sqrt{0.6} \approx 0.775$

$e$가 약 0.775라는 것은, 에너지가 속력의 제곱에 비례하고 $e^2 = 0.6$이므로, 한 번 튈 때마다 운동 에너지의 약 60%가 남는다는 뜻입니다. 두 번째 반발 후 공은 약 $0.6 \times 0.6 = 0.36\ \text{m}$에 도달하며, 반발 높이는 매번 같은 0.6배로 작아집니다.

예제: 정면 충돌

물체 1이 $u_1 = 5\ \text{m/s}$로 오른쪽으로 움직여 정지한 물체 2($u_2 = 0$)에 부딪힙니다. 충돌 후 물체 1은 $v_1' = -1\ \text{m/s}$로 튕겨 나오고 물체 2는 $v_2' = 2\ \text{m/s}$로 움직입니다.

$e = \frac{\left|2 - (-1)\right|}{\left|5 - 0\right|} = \frac{3}{5} = 0.6$

접근 속력은 5 m/s, 분리 속력은 3 m/s이므로 충돌은 접근 속력의 60%를 되돌려 줍니다.

대표적인 값

물체와 표면	대략의 $e$
슈퍼볼과 콘크리트	0.90
농구공과 코트	0.75 – 0.85
테니스공과 하드코트	0.70 – 0.75
골프공과 클럽 페이스	0.78
야구공과 배트	약 0.50
점토 덩어리와 바닥	약 0

경기 단체는 공식 장비에 대해 허용 반발 높이 범위를 정하는 경우가 많은데, 이는 반발 계수를 좁은 범위로 고정하는 방법입니다. 온도, 표면의 강성, 충돌 속력이 모두 $e$를 변화시키므로 반발 실험은 표준화된 조건에서 수행됩니다.

충돌 계산기와의 관계

반발 계수는 완전 탄성 모형과 완전 비탄성 모형을 잇습니다. 운동량 보존과 결합하면, 알고 있는 $e$로부터 일차원 충돌의 두 최종 속도를 모두 예측할 수 있습니다. 운동량 방정식이 두 속도의 합을, 반발 방정식이 차를 정하기 때문입니다. 두 이상적 극단 사이에 있는 충돌 문제는 실제로 이렇게 풀립니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

반발 계수란 무엇입니까?

반발 계수 e는 두 물체가 충돌 후에 유지하는 상대 속력의 비율을 나타냅니다. 분리의 상대 속력을 접근의 상대 속력으로 나눈 값으로 정의합니다. 값이 1이면 운동 에너지 손실이 없는 완전 탄성 충돌, 0이면 물체가 함께 움직이는 완전 비탄성 충돌입니다. 실제 충돌은 대부분 그 사이에 있습니다.

반발 높이로 e를 어떻게 구합니까?

단단하고 고정된 바닥에 알고 있는 높이에서 물체를 떨어뜨린 뒤 튀어 오른 높이를 기록합니다. 반발 직전과 직후의 속력은 높이의 제곱근에 비례하므로 반발 계수는 e = √(h_b / h_d)입니다. 1 m에서 떨어뜨려 0.6 m까지 튀어 오르면 e = √0.6 ≈ 0.775입니다.

e는 어떤 범위를 가집니까?

일반적인 충돌에서 e는 0과 1 사이입니다. e = 0이면 물체가 전혀 분리되지 않는, 운동 에너지를 가장 많이 잃는 완전 비탄성 충돌입니다. e = 1이면 분리 속력이 접근 속력과 같아 운동 에너지가 보존되는 이상적인 탄성 충돌입니다. 1을 넘는 값은 충돌이 운동 에너지를 더한다는 뜻이며, 이는 폭발 같은 외부 에너지원이 있을 때만 일어납니다.

스포츠 공의 e 값은 보통 얼마입니까?

표준 표면에서의 반발 실험에서 농구공은 약 0.750.85, 테니스공은 약 0.70.75, 골프공은 클럽 페이스에서 약 0.78, 야구공은 배트에 대해 약 0.5입니다. 경기 단체는 허용 반발 높이 범위를 정하는 경우가 많은데, 이로써 반발 계수가 일정 범위에 고정되어 제조사 간 장비 성능이 균일하게 유지됩니다.