최종 업데이트: 2026-07-01

하겐-푸아죄유 유동

하겐-푸아죄유 식은 점성 유체가 좁은 관을 어떻게 흐르는지를 설명한다. 부피 유량을 유체를 밀어내는 압력, 점성에 의한 흐름의 저항, 관의 형상과 연결한다. 유체역학, 화학공학, 미세유체공학, 그리고 혈액 순환의 생리학에서 핵심이 되는 관계식이다.

식

단면이 일정한 길고 곧은 원형 관을 비압축성 뉴턴 유체가 정상 상태의 층류로 흐를 때, 부피 유량은 다음과 같다.

$Q = \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L}$

여기서 $Q$는 부피 유량, $r$은 안쪽 반지름, $\Delta P$는 관 양 끝의 압력 차, $\mu$는 점성계수, $L$은 관 길이다. 유량은 구동 압력과 반지름의 네제곱에 비례해 커지고, 점성계수나 길이가 커지면 줄어든다.

기호표

예제

반지름의 네제곱 의존성

이 식에서 가장 두드러진 특징은 유량이 $r^4$에 비례한다는 점이다. 그래서 반지름은 관의 치수 가운데 가장 중요하다.

• 반지름을 두 배로 하면 유량은 $2^4 = 16$배가 된다.
• 절반으로 줄이면 처음 값의 $1/16$이 된다.
• 반지름이 10 % 줄면 유량은 약 34 % 감소한다.

이 민감성은 동맥이 조금만 좁아져도 혈류에 큰 영향을 미치는 이유, 배관이 약간만 막혀도 처리량의 대부분을 잃는 이유, 그리고 미세유체 채널이 정밀하게 관리된 치수를 필요로 하는 이유를 설명한다. 또한 모든 계산에서 반지름 측정이 불확실성을 지배함을 뜻한다. 작은 측정 오차가 네제곱으로 증폭되기 때문이다.

적용 범위와 한계

이 식은 층류, 즉 유체의 층이 서로 매끄럽게 미끄러지는 흐름을 전제한다. 흐름이 층류로 유지되는지는 레이놀즈수로 결정되며, 관 유동에서는 대체로 레이놀즈수 2300 부근에서 난류로의 전이가 시작된다. 그 이상에서는 무질서한 혼합이 저항을 키우고 압력과 유량의 선형 관계가 깨지므로, 다르시-바이스바흐 식 같은 경험식을 사용한다.

그 밖의 가정은 뉴턴 유체(일정한 점성계수), 비압축성, 일정한 원형 단면, 벽면 점착 조건, 그리고 충분히 발달한 속도 분포다. 마지막 조건은 입구 부근의 입구 효과를 무시할 수 있도록 관이 지름에 비해 충분히 길 것을 요구한다. 특히 혈액은 비뉴턴 유체이므로, 이 식은 생리적 혈류에 대해 1차 근사만 제공한다.

관련 도구

층류 가정이 타당한지 확인하려면 흐름의 레이놀즈수를 계산한다. 푸아즈, 센티푸아즈, Pa·s 같은 점성 단위를 변환하려면 점성 변환기가 편리하다. 또한 점성을 무시한 이상 유동에서 압력, 속도, 높이를 연결하려면 베르누이 방정식이 짝을 이루는 관계식이다.