최종 업데이트: 2026-07-01

용수철 진자(단순조화운동) 계산

용수철에 매단 물체는 단순조화운동의 교과서적 예입니다. 물체를 옆으로 당겼다가 놓으면, 용수철은 움직인 거리에 비례하는 힘으로 물체를 되당깁니다. 이것이 훅의 법칙 $F = -kx$입니다. 이 선형 복원력 덕분에 물체는 일정한 속도로 왕복하며, 그 속도는 질량 $m$과 용수철 상수 $k$ 두 가지만으로 정해집니다.

이 계산기는 질량과 용수철 상수로부터 주기 $T$(한 번 왕복하는 시간), 진동수 $f$(초당 주기 수), 각진동수 $\omega$(라디안 매 초)를 구합니다.

진동의 박자를 정하는 것

용수철이 단단할수록 빨라지고 질량이 클수록 느려집니다.

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad f = \frac{1}{T}$$

두 양 모두 제곱근 안에 있으므로 영향은 완만합니다. 질량을 4배로 해도 주기는 2배가 될 뿐이고, 강성을 4배로 해도 주기는 절반이 될 뿐입니다. 식에 중력이 전혀 나오지 않는 점에 주목하세요. 수평 용수철과 수직 용수철은 정확히 같은 속도로 진동하며, 궤도 위에서도 시간을 완벽하게 잽니다. 손목시계를 조절하는 것이 진자가 아니라 밸런스 스프링인 이유가 바로 이것입니다.

공식

양	기호	의미
질량	$m$	용수철에서 진동하는 물체의 질량
용수철 상수	$k$	단위 길이 늘림당 힘, N/m
각진동수	$\omega$	진동 속도, $\omega = \sqrt{k/m}$
주기	$T$	한 주기의 시간, $T = 2\pi\sqrt{m/k}$
진동수	$f$	초당 주기 수, $f = 1/T$

계산 예시

0.5 kg의 물체가 강성 20 N/m인 용수철 위에 놓여 있습니다. 각진동수는 다음과 같습니다.

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{20}{0.5}} = \sqrt{40} = 6.325\ \text{rad/s}$$

주기는 한 번의 완전한 왕복입니다.

$$\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \\ &= 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{20}} \\ &= 2\pi \times 0.1581 \\ &= 0.9935\ \text{s} \end{aligned}$$

진동수는 그 역수인 $f = 1/T = 1.007$ Hz로, 매초 한 번을 조금 넘는 완전한 진동입니다. 질량 0.5 kg, 용수철 상수 20 N/m를 입력하면 이 결과가 재현됩니다.

용수철 진자와 단진자

용수철 진자와 단진자는 모두 단순조화 진동자이며, 둘 다 $2\pi\sqrt{\text{관성}/\text{복원 세기}}$ 형태의 주기를 가집니다. 차이는 복원력을 무엇이 제공하느냐입니다. 단진자는 중력으로 복원되므로 주기 $2\pi\sqrt{L/g}$는 길이와 현지 중력에 의존합니다. 용수철은 스스로 복원력을 내므로 주기 $2\pi\sqrt{m/k}$는 질량과 강성에 의존하며 중력의 영향을 받지 않습니다. 둘 다 모든 단순조화 진동자가 공유하는 더 깊은 특성을 지닙니다. 즉 주기가 진폭에 의존하지 않습니다.

진동의 에너지

물체가 진동하면 에너지는 두 형태 사이를 오갑니다. 양 끝에서는 물체가 순간적으로 멈추고 모든 에너지가 용수철에 탄성 에너지 $\tfrac{1}{2}kA^2$로 저장됩니다(여기서 $A$는 진폭). 중앙에서는 용수철이 자연 길이로 돌아가고 모든 에너지가 운동 에너지 $\tfrac{1}{2}mv_\text{max}^2$가 됩니다. 마찰이 없는 이상적인 계에서는 합이 일정하게 유지되며 두 형태가 한 주기당 두 번 교환됩니다.

한계

이 공식들은 운동 범위 전체에서 훅의 법칙을 따르는 이상적인 용수철, 질량이 없는 용수철, 그리고 마찰이나 공기 저항이 없음을 전제합니다. 실제 용수철은 자체 질량이 있어 진동수를 약간 낮추며, 감쇠는 약할 경우 주기를 크게 바꾸지 않으면서 진폭을 점차 줄입니다. 용수철을 선형성을 벗어날 만큼 늘이면 운동은 더 이상 단순조화운동이 아니며 이 결과는 적용되지 않습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

용수철 진자의 공식은 무엇인가요?

강성 k인 용수철에 매단 질량 m은 단순조화운동을 합니다. 각진동수는 ω = √(k/m), 한 번 왕복하는 주기는 T = 2π√(m/k), 진동수는 주기의 역수인 f = 1/T입니다. 주기는 초, 진동수는 헤르츠(초당 진동 횟수), 각진동수는 라디안 매 초로 나타냅니다.

질량과 용수철 상수는 주기에 어떻게 영향을 주나요?

주기는 질량의 제곱근에 비례하고 강성의 제곱근에 반비례합니다. 질량을 4배로 하면 주기가 2배가 되고, 용수철 상수를 4배로 하면 주기가 절반이 됩니다. 부드러운 용수철에 무거운 물체는 천천히, 단단한 용수철에 가벼운 물체는 빠르게 진동합니다.

진자(단진자)와는 무엇이 다른가요?

둘 다 단순조화 진동자이지만 복원력의 원천이 다릅니다. 단진자는 중력으로 복원되어 주기가 길이와 현지 중력으로 정해지고 질량과는 무관합니다. 용수철 진자는 용수철로 복원되어 주기가 질량과 용수철 상수로 정해지며 무중력에서도 똑같이 작동합니다. 그래서 우주선과 시계의 조속 장치에는 단진자가 아니라 용수철 진동자가 쓰입니다.

진폭이 주기를 바꾸나요?

훅의 법칙을 따르는 이상적인 용수철이라면 바뀌지 않습니다. 주기는 질량과 용수철 상수에만 의존하며, 놓기 전에 물체를 얼마나 당겼는지에는 의존하지 않습니다. 이러한 진폭과의 무관함(등시성)은 단순조화운동의 특징이며 용수철 진자가 일정한 박자를 유지하는 이유입니다. 용수철을 너무 많이 늘려 선형성을 벗어날 때에만 성립하지 않습니다.