최종 업데이트: 2026-07-13

케플러 제3법칙

케플러 제3법칙은 궤도를 이루는 세 가지, 즉 도는 중심 천체까지의 거리, 그 중심 천체의 질량, 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 하나로 묶습니다. 뉴턴의 형태로 쓰면 $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ 이며, 주기의 제곱이 거리의 세제곱에 비례해 커집니다. 이 계산기는 이 하나의 관계를 세 가지로 풀어, 거리와 질량으로 주기를 구하거나, 알려진 주기로부터 궤도 거리를 되찾거나, 측정한 궤도로 중심 천체의 질량을 재도록 해 줍니다.

공식과 세 가지 형태

여기서 $a$ 는 궤도 긴반지름(평균 궤도 거리이며, 원 궤도라면 곧 반지름), $M$ 은 도는 중심 천체의 질량, $G = 6.674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ 은 만유인력 상수입니다. 공전하는 천체 자신의 질량은 식에 전혀 나타나지 않으므로, 같은 별에서 같은 거리에 있는 먼지 알갱이와 위성은 정확히 같은 시간에 한 바퀴를 돕니다.

태양계 단위계라는 지름길

케플러 제3법칙이 행성에 쓰기 편한 것은 단위를 잘 골랐기 때문입니다. 거리를 천문단위(1 AU 는 지구–태양 거리), 질량을 태양질량(1 M☉ 은 태양의 질량), 시간을 년으로 재면 $4\pi^2/(GM)$ 덩어리가 $1/M$ 이 됩니다. 그러면 법칙은 다음과 같아집니다.

여기서 $T$ 는 년, $a$ 는 AU, $M$ 은 태양질량입니다. 계산기는 내부에서 이 형태를 쓰므로, 기본값인 지구 궤도는 깔끔한 답을 줍니다.

예제: 태양을 도는 지구

지구의 긴반지름은 $a = 1\ \text{AU}$, 중심 질량은 $M = 1\ \text{M}_\odot$ 입니다.

같은 값을 완전한 SI 단위 — $a = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$, $M = 1.989\times10^{30}\ \text{kg}$ — 로 $T = 2\pi\sqrt{a^3/GM}$ 에 넣으면 약 $3.156\times10^{7}\ \text{s}$, 즉 극히 작은 오차 안에서 1년이 됩니다. AU 형태는 그 계산을 감춰 줄 뿐입니다.

예제: 외행성

a³ 스케일링이 바로 바깥쪽 태양계가 그토록 느리게 움직이는 이유입니다. 목성은 약 $a = 5.20\ \text{AU}$ 에 있으므로,

이 되어 목성의 실제 11.86년 공전과 일치합니다. 약 30 AU 의 해왕성은 태양을 한 바퀴 도는 데 $\sqrt{30^3} \approx 164$ 년이 필요합니다. 해왕성의 1년은 이 행성이 과학에 알려진 세월보다도 깁니다.

별의 무게 재기

거꾸로 쓰면 케플러 제3법칙은 천문학에서 가장 중요한 도구 가운데 하나가 됩니다. 결코 저울에 올릴 수 없는 질량을 재기 때문입니다. 동반 천체 — 별을 도는 행성, 블랙홀을 도는 별 — 가 공전하는 모습을 보고 그 주기와 긴반지름을 측정하면, $M = 4\pi^2 a^3/(GT^2)$ 이 그 중심에 있는 천체의 질량을 줍니다. 태양의 질량도, 외계행성 모항성의 질량도, 우리 은하 중심의 초대질량 블랙홀 질량도 모두 이렇게 구했습니다.

가정과 한계

여기서 쓰는 법칙은 한 천체가 다른 천체보다 훨씬 무거워, 중심 천체가 사실상 정지한 채 작은 천체가 그 주위를 돈다고 가정합니다. 두 질량이 비슷할 때 — 예를 들어 쌍성 — 식의 $M$ 은 두 질량의 합이며, 두 천체 모두 공통 질량중심을 돕니다. 또한 이 결과는 이상적인 이체 값으로, 다른 행성의 인력, 실제 천체의 약간의 편평도, 상대론 효과는 무시합니다. 이들은 모두 오랜 시간에 걸쳐 실제 궤도에 작고 느린 어긋남을 만듭니다.