최종 업데이트: 2026-07-01

연속 방정식

연속 방정식은 흐르는 유체에 대한 질량 보존을 나타냅니다. 가장 일반적인 형태에서는 관이나 수로를 지나는 정상·비압축성 유동에 대해, 매초 각 단면을 통과하는 유체의 부피가 흐름을 따라 어디서나 같다고 말합니다. 이 하나의 원리가 정원 호스의 끝을 조이면 물이 더 빠르게 뿜어져 나오는 이유와, 강이 좁은 협곡에서 빠르게 흐르는 이유를 설명합니다.

방정식

관의 두 단면 사이에서 정상·비압축성 유동을 생각하면 체적 유량은 일정합니다.

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q$

여기서 $A$ 는 단면적, $v$ 는 그 단면의 평균 유속, $Q$ 는 체적 유량입니다. 하류 유속에 대해 풀면 이 계산기가 사용하는 형태가 됩니다.

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2}$

유량은 단순히 다음과 같습니다.

$Q = A_1 v_1$

유체는 쌓이거나 사라질 수 없으므로, 면적이 작아질수록 유속은 비례해 커집니다.

기호 표

예제

면적과 유속의 절충

유량 $Q = A v$ 가 일정하므로 면적과 유속은 관을 따라 반비례합니다. 면적을 절반으로 줄이면 유속은 두 배가 되고, 네 배로 넓히면 유속은 4분의 1로 떨어집니다. 원형 관에서는 지름으로 볼 때 이 관계가 더 강합니다. 면적이 지름의 제곱에 비례하므로($A = \pi d^2/4$), 지름을 절반으로 줄이면 면적은 4분의 1이 되어 유속은 네 배가 되며, 이로부터 $v_2 = v_1 (d_1/d_2)^2$ 라는 지름길이 나옵니다.

연속 방정식에서 베르누이 방정식으로

연속 방정식은 형상만으로 각 단면의 유속을 알려주지만 압력에 대해서는 아무것도 말하지 않습니다. 여기서 베르누이 방정식이 이어받습니다. 연속 방정식이 유속 변화를 정하면 베르누이 방정식은 이를 압력 변화와 연결합니다. 축소부에서 연속 방정식이 유체를 가속시키면 베르누이 방정식은 그곳의 정압이 낮아진다고 예측합니다. 이 조합이 벤투리 효과와, 측정된 압력 강하로부터 유량을 추정하는 벤투리·오리피스 유량계의 원리입니다.

압축성 유동

단순한 형태 $A_1 v_1 = A_2 v_2$ 는 밀도가 일정할 때만 성립합니다. 밀도가 눈에 띄게 변할 만큼 빠르게 흐르는 기체(대략 마하 0.3 이상)에서는 보존되는 양이 체적 유량이 아니라 질량 유량입니다.

$\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2$

이 영역에서는 면적과 유속의 관계가 역전될 수도 있으며, 초음속 노즐이 흐름을 가속하기 위해 좁아지지 않고 넓어지는 것이 바로 이 때문입니다. 다만 이 계산기가 대상으로 하는 일상적인 액체와 저속 기체에서는 비압축성 형태가 매우 좋은 근사입니다.