생성일: 2026년 7월 20일 오후 09:34

탄성 충돌 계산기

입력

질량 1	2 kg
초기 속도 1	3 m/s
질량 2	4 kg
초기 속도 2	-1 m/s

탄성 충돌 계산기

두 물체의 1차원 탄성 충돌을 풉니다. 질량과 초기 속도를 입력하면 충돌 후 두 속도와 함께 운동량 및 운동에너지 보존을 확인할 수 있습니다.

질량 1

초기 속도 1

질량 2

초기 속도 2

값을 입력하면 계산 결과가 표시됩니다.

충돌 후 속도 1

\begin{aligned} v_1 &= \dfrac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \dfrac{\left(2\,\text{kg} - 4\,\text{kg}\right)\left(3\,\text{m/s}\right) + 2\left(4\,\text{kg}\right)\left(-1\,\text{m/s}\right)}{2\,\text{kg} + 4\,\text{kg}} \\ &= ?\,\text{m/s} \end{aligned}

충돌 후 속도 2

\begin{aligned} v_2 &= \dfrac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \dfrac{\left(4\,\text{kg} - 2\,\text{kg}\right)\left(-1\,\text{m/s}\right) + 2\left(2\,\text{kg}\right)\left(3\,\text{m/s}\right)}{2\,\text{kg} + 4\,\text{kg}} \\ &= ?\,\text{m/s} \end{aligned}

세부 정보

충돌 전 운동량

kg·m/s

충돌 후 운동량

kg·m/s

충돌 전 운동에너지

충돌 후 운동에너지

최종 업데이트: 2026-07-01

1차원 탄성 충돌

탄성 충돌은 운동량과 운동에너지가 모두 보존되는 충돌입니다. 열·소리·변형으로 아무것도 잃지 않으므로, 두 물체는 가져온 운동에너지를 그대로 지닌 채 떨어져 나갑니다. 당구공 같은 단단한 구, 기체 분자, 충돌하는 소립자는 모두 거의 완전 탄성에 가깝습니다. 이 계산기는 한 직선 위의 두 물체의 질량과 초기 속도를 받아 두 충돌 후 속도를 돌려주며, 보존 법칙을 직접 확인할 수 있도록 충돌 전후의 운동량과 운동에너지도 함께 보여줍니다.

모든 것이 한 축 위에서 일어나므로 속도는 부호가 있는 수로 나타냅니다. 한쪽 방향을 양으로 정하면 반대로 움직이는 물체는 음의 값을 가집니다.

두 가지 보존 법칙

1차원 탄성 충돌은 두 방정식에 의해 결정됩니다. 운동량 보존:

m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2

그리고 운동에너지 보존:

\tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2

이 두 식을 미지의 충돌 후 속도 $v_1$ , $v_2$ 에 대해 풀면 계산기가 쓰는 닫힌 형태가 나옵니다.

v_1 = \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_2 = \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2}

같은 대수에서 유용한 사실이 나옵니다. 탄성 충돌에서는 접근의 상대 속도가 분리의 상대 속도와 같아 $u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2)$ 가 성립합니다. 물체들은 다가온 속도만큼 빠르게 멀어집니다.

알아둘 만한 특수한 경우

상황	결과
질량이 같음 ( $m_1 = m_2$ )	두 물체가 속도를 맞바꿈: $v_1 = u_2$ , $v_2 = u_1$ .
가벼운 물체가 무거운 벽에 충돌 ( $m_2 \gg m_1$ , $u_2 = 0$ )	가벼운 물체가 거의 같은 속도로 되튐: $v_1 \approx -u_1$ .
무거운 물체가 가벼운 물체에 충돌 ( $m_1 \gg m_2$ , $u_2 = 0$ )	무거운 물체는 거의 느려지지 않고, 가벼운 물체는 약 $2u_1$ 로 튀어 나감.

질량이 같은 경우는 뉴턴의 진자와 깔끔한 정면 당구 샷의 원리입니다. 큐볼은 멈추고 맞은 공이 큐볼의 원래 속도로 나아갑니다.

풀이 예시

2 kg 수레가 오른쪽으로 3 m/s로 움직이며, 1 m/s로 다가오는 4 kg 수레와 충돌합니다(즉 $u_2 = -1$ m/s). 오른쪽을 양으로 두면:

\begin{aligned} v_1 &= \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(2 - 4)(3) + 2(4)(-1)}{2 + 4} \\ &= \frac{-6 - 8}{6} \approx -2.33\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} v_2 &= \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(4 - 2)(-1) + 2(2)(3)}{2 + 4} \\ &= \frac{-2 + 12}{6} \approx 1.67\ \text{m/s} \end{aligned}

가벼운 수레는 되튀고( $v_1$ 음수), 무거운 수레는 방향을 바꿔 오른쪽으로 움직입니다. 확인하면 충돌 전 운동량은 $2(3) + 4(-1) = 2$ kg·m/s, 충돌 후는 $2(-2.33) + 4(1.67) = 2$ kg·m/s이며, 운동에너지는 충돌 전 $\tfrac{1}{2}(2)(3^2) + \tfrac{1}{2}(4)(1^2) = 11$ J, 충돌 후 $\tfrac{1}{2}(2)(2.33^2) + \tfrac{1}{2}(4)(1.67^2) = 11$ J입니다. 탄성 충돌이 요구하는 대로 둘 다 보존됩니다.

4 lb 글라이더가 10 ft/s로 움직이며, 3 ft/s로 다가오는 8 lb 글라이더와 충돌합니다( $u_2 = -3$ ft/s). 첫 번째 글라이더의 방향을 양으로 두면:

\begin{aligned} v_1 &= \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(4 - 8)(10) + 2(8)(-3)}{4 + 8} \\ &= \frac{-40 - 48}{12} \approx -7.33\ \text{ft/s} \end{aligned}

\begin{aligned} v_2 &= \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(8 - 4)(-3) + 2(4)(10)}{4 + 8} \\ &= \frac{-12 + 80}{12} \approx 5.67\ \text{ft/s} \end{aligned}

가벼운 글라이더는 되튀고, 무거운 글라이더는 첫 번째의 원래 방향으로 나아가며, 분리의 상대 속도( $5.67 - (-7.33) = 13$ ft/s)는 접근의 상대 속도( $10 - (-3) = 13$ ft/s)와 같습니다.

이 모형이 적용되는 경우

실제 충돌은 완전 탄성인 경우가 드물며, 운동에너지의 일부가 거의 항상 열이나 소리로 빠져나갑니다. 탄성 방정식은 그 손실이 무시할 만할 때 알맞은 도구입니다. 강철 볼베어링, 자석이나 스프링 범퍼를 단 거의 마찰 없는 에어트랙 글라이더, 원자 규모의 산란이 그 예입니다. 물체가 들러붙거나 눈에 띄게 변형되면 비탄성 충돌이며 운동에너지가 보존되지 않으므로 이 공식은 더 이상 성립하지 않습니다. 여기서 보여주는 충돌 전후의 운동량은 고립 충돌이면 언제나 같으며, 운동에너지 쌍이 같게 유지되는 것이 바로 탄성 충돌을 가리는 표시입니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

탄성 충돌이란 무엇인가요?

탄성 충돌은 전체 운동량과 전체 운동에너지가 모두 보존되는 충돌입니다. 열·소리·영구 변형으로 에너지가 손실되지 않으므로, 물체들은 충돌 전과 같은 운동에너지를 지닌 채 튕겨 나갑니다. 당구공 같은 단단한 구 사이의 충돌과 원자·소립자 사이의 충돌은 거의 완전 탄성에 가깝습니다. 일상의 충돌은 대부분 부분적으로 비탄성이지만, 탄성 충돌은 깔끔한 극한 모형입니다.

1차원 탄성 충돌에서 충돌 후 속도의 공식은 무엇인가요?

질량 m₁, m₂와 초기 속도 u₁, u₂를 가진 두 물체에 대해 충돌 후 속도는 v₁ = ((m₁ − m₂)u₁ + 2m₂u₂)/(m₁ + m₂), v₂ = ((m₂ − m₁)u₂ + 2m₁u₁)/(m₁ + m₂)입니다. 이는 운동량 식 m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂와 운동에너지 식 ½m₁u₁² + ½m₂u₂² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂²를 연립해 푼 결과입니다. 속도에는 부호가 있으므로 양의 방향을 일관되게 정하세요.

같은 질량 두 물체가 탄성 충돌하면 어떻게 되나요?

m₁ = m₂일 때 공식은 v₁ = u₂, v₂ = u₁로 단순해져 두 물체가 속도를 맞바꿉니다. 움직이는 공이 같은 질량의 정지한 공을 치면 첫 번째 공은 멈추고 두 번째 공이 첫 번째 공의 원래 속도로 나아갑니다. 뉴턴의 진자와 정면 당구 샷에서 익숙한 결과입니다.

탄성 충돌과 비탄성 충돌은 어떻게 다른가요?

둘 다 운동량을 보존하지만, 운동에너지까지 보존하는 것은 탄성 충돌뿐입니다. 비탄성 충돌에서는 운동에너지의 일부가 열이나 변형으로 바뀌고, 완전 비탄성 충돌에서는 물체들이 붙어 하나처럼 움직입니다. 이 계산기는 완전 탄성 충돌을 가정하므로, 표시되는 충돌 전후의 운동에너지 값은 항상 일치해야 합니다.

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