최종 업데이트: 2026-07-01

완전 비탄성 충돌

충돌 시 두 물체가 붙어서 하나의 물체로 함께 움직이면, 그 충돌을 완전 비탄성 충돌이라고 합니다. 하나로 합쳐지므로 둘은 하나의 공통 최종 속도를 공유해야 합니다. 이는 물체가 튕겨 나가며 운동 에너지를 모두 보존하는 탄성 충돌과 정반대의 극단입니다.

무슨 일이 일어나는지는 두 가지 원리가 결정합니다.

• 운동량은 항상 보존된다. 짧은 접촉 순간 동안 외부 수평 힘이 작용하지 않으므로, 충돌 직후의 전체 운동량은 충돌 직전의 전체 운동량과 같습니다.
• 운동 에너지는 보존되지 않는다. 그중 일부는 물체를 변형시키는 데 쓰이며 열, 소리, 영구적 손상으로 방출됩니다. 완전 비탄성 충돌은 운동량 보존이 허용하는 최대 비율의 운동 에너지를 잃습니다.

두 질량과 처음 속도를 입력하면 이 계산기는 공통 최종 속도, 충돌 전후의 운동 에너지, 손실된 에너지를 돌려줍니다.

최종 속도 공식

충돌 전후의 전체 운동량을 적고 둘을 같다고 놓습니다. 충돌 전에는 물체가 m₁u₁과 m₂u₂를 가지며, 충돌 후에는 합쳐진 질량(m₁ + m₂)이 하나의 속도 v로 움직입니다.

$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)\,v$

v에 대해 풀면 이 계산기가 사용하는 결과가 나옵니다.

$v = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2}$

속도에는 부호가 있습니다. 한 방향을 양으로 정하면 반대 방향의 운동은 음이 됩니다. 따라서 정면으로 다가오는 두 물체는 부호가 반대이고, 그 운동량은 일부 상쇄됩니다.

충돌 전후의 에너지

충돌 전 운동 에너지는 각 물체의 ½mv²의 합입니다.

$KE_i = \tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2$

충돌 후에는 하나의 질량이 공통 속도로 움직입니다.

$KE_f = \tfrac{1}{2}(m_1 + m_2)\,v^2$

손실된 에너지는 단순히 그 차이입니다.

$\Delta KE = KE_i - KE_f$

ΔKE는 결코 음수가 되지 않습니다. 합쳐진 물체가 충돌에 가져온 것보다 더 많은 운동 에너지를 가질 수는 없기 때문입니다.

풀이 예제

5 m/s로 움직이는 2 kg 물체가 정지한 3 kg 물체에 충돌해 둘이 붙습니다.

최종 속도

$v = \frac{2 \times 5 + 3 \times 0}{2 + 3} = \frac{10}{5} = 2\ \text{m/s}$

충돌 전 운동 에너지

KE_i = ½ × 2 × 5² + ½ × 3 × 0² = 25 J

충돌 후 운동 에너지

KE_f = ½ × (2 + 3) × 2² = ½ × 5 × 4 = 10 J

손실된 운동 에너지

ΔKE = 25 − 10 = 15 J

즉 원래 운동 에너지의 60%가 열, 소리, 변형으로 전환되는 반면, 운동량(10 kg·m/s)은 모두 보존됩니다.

블록에 박힌 총알

고전적인 탄동 진자 장치는 완전 비탄성입니다. 400 m/s로 날아가는 10 g(0.01 kg) 총알이 정지한 2 kg 블록에 박힙니다.

$v = \frac{0.01 \times 400 + 2 \times 0}{0.01 + 2} = \frac{4}{2.01} \approx 1.99\ \text{m/s}$

충돌 전 운동 에너지는 ½ × 0.01 × 400² = 800 J이지만, 충돌 후에는 ½ × 2.01 × 1.99² ≈ 3.98 J에 불과합니다. 800 J의 거의 전부가 손실되며, 대부분 총알과 블록 속 열로 바뀝니다. 이 막대한 에너지 손실과 보존된 운동량이 바로 탄동 진자가 블록이 흔들린 정도로 총알의 속도를 측정할 수 있게 하는 이유입니다.

비탄성 충돌과 탄성 충돌 비교

성질	완전 비탄성	완전 탄성
충돌 후의 물체	붙어서 하나의 물체	따로 튕겨 나감
운동량	보존됨	보존됨
운동 에너지	최대 손실	완전히 보존됨
최종 속도	하나의 공통 속도	서로 다른 두 속도
일상적 예	찌그러져 합쳐지는 자동차	당구공

실제 충돌은 보통 이 두 이상적 경우 사이에 있습니다. 자동차는 운동 에너지를 탑승자에게 전달하는 대신 구조물에 흡수하도록, 충돌이 비탄성 충돌에 가깝게 거동하도록 충격 흡수 구역을 두고 설계됩니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

완전 비탄성 충돌이란 무엇인가요?

완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 충돌 후 붙어서 하나로 움직이므로 하나의 최종 속도를 공유합니다. 운동량은 여전히 보존되지만, 가능한 최대량의 운동 에너지가 열, 소리, 변형으로 손실됩니다. 점토 덩어리가 벽에 부딪히는 경우, 두 철도 차량이 연결되는 경우, 총알이 블록에 박히는 경우가 일상적인 예입니다.

최종 속도는 어떻게 구하나요?

운동량 보존 법칙을 적용합니다. 충돌 전 전체 운동량은 m₁u₁ + m₂u₂이고, 충돌 후에는 합쳐진 질량(m₁ + m₂)이 하나의 속도 v로 움직입니다. 둘을 같다고 놓으면 v = (m₁u₁ + m₂u₂)/(m₁ + m₂)가 됩니다. 2 kg 물체가 5 m/s로 정지한 3 kg 물체에 충돌하면 v = (2 × 5 + 3 × 0)/(2 + 3) = 10/5 = 2 m/s입니다.

왜 운동 에너지가 손실되나요?

물체가 변형되어 붙을 때, 운동을 유지하는 대신 재료를 휘게 하고 가열하는 데 일이 사용됩니다. 그 일이 계에서 운동 에너지를 빼앗는 반면, 방향에 의존하며 단순히 사라질 수 없는 운동량은 그대로 유지됩니다. 손실된 에너지는 열, 소리, 영구 변형으로 다시 나타납니다.

보존되는 것은 운동량인가요, 운동 에너지인가요?

운동량은 짧은 충돌 동안 외부 수평 힘이 작용하지 않으므로 탄성·비탄성을 막론하고 모든 충돌에서 보존됩니다. 운동 에너지는 완전 탄성 충돌에서만 보존됩니다. 완전 비탄성 충돌은 그 반대 극단으로, 운동량을 보존하면서 운동량 보존이 허용하는 최대 비율의 운동 에너지를 잃습니다.