حاسبة احتمال سحب أوراق اللعب

احسب احتمال سحب عدد محدد من أوراق مستهدفة من مجموعة أوراق باستخدام التوزيع الهندسي الفائق. مناسبة للبوكر والبلاك جاك وسائر ألعاب الورق.

المدخلات

≥ 1
≥ 1

النتائج

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \\ &= \dfrac{\binom{4}{2}\binom{52-4}{5-2}}{\binom{52}{5}} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} E[X] &= \dfrac{nK}{N} \\ &= \dfrac{(5)(4)}{52} \\ &= ? \end{aligned}
P(إصابات = k) 0

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

كيف تعمل احتمالات سحب الأوراق

التوزيع الهندسي الفائق نموذج احتمالي يصف أخذ عينات دون إعادة من مجتمع محدود مقسوم إلى فئتين. في سحب أوراق اللعب، كل ورقة تُسحب تُغيّر تركيب ما تبقى في المجموعة، فتتغير الاحتمالات مع كل سحبة — وهو ما يميّز هذا التوزيع عن توزيعات الاحتمال ذات الاحتمال الثابت كرمي حجر النرد أو قلب العملة. تطبّق هذه الأداة التوزيع الهندسي الفائق على أي تركيبة من حجم المجموعة وعدد الأوراق المستهدفة وحجم اليد والإصابات المطلوبة.

صيغة التوزيع الهندسي الفائق

لمجموعة من NN ورقة تحتوي على KK ورقة مستهدفة، وعند سحب nn ورقة دون إعادة، يكون احتمال الحصول على kk إصابات بالضبط:

P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

لكل حدٍّ في هذه الصيغة معنى توافيقي مباشر:

  • (Kk)\binom{K}{k} — طرق اختيار kk ورقة مستهدفة من KK متاحة
  • (N−Kn−k)\binom{N-K}{n-k} — طرق ملء المواضع المتبقية n−kn-k بأوراق غير مستهدفة
  • (Nn)\binom{N}{n} — إجمالي طرق سحب أي nn ورقة من NN

البسط يعدّ الأيدي المواتية والمقام يعدّ جميع الأيدي الممكنة.

مثال تطبيقي: آصان في يد بوكر من 5 أوراق

توزيع البوكر القياسي: $N = 52$، $K = 4$ (آصات)، $n = 5$، $k = 2$.

P(X=2)=(42)(483)(525)=6×17 2962 598 960≈0.03993P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{6 \times 17\,296}{2\,598\,960} \approx 0.03993

نحو 4.0% من أيدي 5 أوراق تحتوي على آصين بالضبط. أما احتمال وجود آصٍ واحد على الأقل فأعلى بكثير، إذ يبلغ نحو 34.1%.

العدد المتوقع من الآصات في كل يد هو:

E[X]=n⋅KN=5×452=513≈0.385E[X] = \frac{n \cdot K}{N} = \frac{5 \times 4}{52} = \frac{5}{13} \approx 0.385

متوسط الآصات في اليد الواحدة أقل من نصف ورقة، غير أن الناتج الفعلي دائمًا عدد صحيح — فالمتوسط يصف المعدل التراكمي عبر جولات كثيرة.

الفرق بين «بالضبط k» و«k على الأقل»

نتيجة P(k إصابة على الأقل) — أي P(X≥k)P(X \geq k) — هي مجموع دالة الكثافة من kk حتى min⁡(n,K)\min(n, K):

P(X≥k)=∑i=kmin⁡(n,K)P(X=i)P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{\min(n,K)} P(X = i)

هذا هو السؤال الذي يعنيه اللاعب في الغالب: «ما احتمال سحب ورقتين من البستوني على الأقل؟» لا «بالضبط ورقتين». يُجسّد مخطط التوزيع الكثافة الاحتمالية على جميع قيم الإصابات الممكنة.

سيناريوهات شائعة لسحب الأوراق

حجم المجموعةالهدفحجم اليدالإصاباتP(بالضبط)P(على الأقل)
524 (آصات)5129.9%34.1%
524 (آصات)524.0%4.2%
5213 (بستوني)538.2%9.3%
5212 (أوراق صورة)5225.1%32.5%
524 (آصات)2114.5%14.9%
312 (6 مجموعات)24 (آصات)2114.2%14.8%

يُظهر صف «الحذاء» السداسي في البلاك جاك أنه حين يظل K/NK/N ثابتًا (24/312 = 4/52) لا يتغير الاحتمال إلا بمقدار يسير — يهيمن المقام الكبير على النتيجة.

التوزيع الهندسي الفائق مقابل التوزيع الثنائي

يُطبَّق التوزيع الثنائي حين تكون كل تجربة مستقلة باحتمال ثابت pp. سحب الأوراق ليس مستقلًا — إخراج ورقة يُغيّر pp للسحبة التالية. الفارق في مجموعة من 52 ورقة صغير لكنه موجود:

  • التقريب الثنائي لآصٍ واحد في 5 أوراق: 1−(1−4/52)5≈33.0%1 - (1 - 4/52)^5 \approx 33.0\%
  • الهندسي الفائق الدقيق: ≈34.1%\approx 34.1\%

يتسع الفارق حين تمثل اليد جزءًا كبيرًا من المجموعة. في يد من 10 أوراق من مجموعة مؤلفة من 20 ورقة ينهار التقريب الثنائي بصورة واضحة، بينما تظل الصيغة الهندسية الفائقة دقيقة.

كيفية استخدام الأداة

  1. حجم مجموعة الأوراق — إجمالي الأوراق قبل أي سحب. مجموعة قياسية: 52. حذاء سداسي: 312. احذف الأوراق الموزَّعة مسبقًا لمحاكاة أوضاع اللعب في منتصف الجولة.
  2. الأوراق المستهدفة في المجموعة — عدد الأوراق التي تُحسب «إصابات». الآصات: 4. البستوني: 13. الملوك الحمر: 2.
  3. حجم اليد — الأوراق المسحوبة في صفقة واحدة.
  4. الإصابات المطلوبة — العدد الدقيق المراد حساب احتماله. تُستخدم P(k على الأقل) حين يُستهدف تجاوز حدٍّ أدنى.

يُجسّد مخطط التوزيع دالة الكثافة الاحتمالية كاملةً — كيف تتوزع الكثافة من صفر إصابات حتى الحد الأقصى الممكن. العمود المميز يقابل قيمة الإصابات المطلوبة المُدخلة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما احتمال سحب آصين في يد من 5 أوراق؟

في المجموعة القياسية (52 ورقة، 4 آصات، يد من 5 أوراق): P(X = 2) = C(4,2) × C(48,3) / C(52,5) = 6 × 17,296 / 2,598,960 ≈ 0.03993، أي نحو 4.0%. أما احتمال الحصول على آصٍ واحد على الأقل فيبلغ نحو 34.1%. أدخل: حجم المجموعة = 52، الأوراق المستهدفة = 4، حجم اليد = 5، الإصابات المطلوبة = 2 للتحقق.

لماذا يُوصف سحب الأوراق بالتوزيع الهندسي الفائق؟

يُصوَّر التوزيع الهندسي الفائق أخذ عينات دون إعادة من مجتمع محدود مقسوم إلى فئتين. يتطابق سحب الأوراق مع هذا النموذج تمامًا: المجموعة هي المجتمع، والأوراق المستهدفة هي إحدى الفئتين.

كل ورقة تُسحب تُغير تركيب ما تبقى، وهذه السمة الجوهرية التي تميزه عن التوزيع الثنائي الذي يفترض أن كل تجربة مستقلة باحتمال ثابت، كما لو أعدنا كل ورقة قبل السحب التالي.

هل تحسب الأداة احتمال السحب مع الإعادة أم دونها؟

دون إعادة — وهو القاعدة المعمول بها في جميع ألعاب الورق؛ بمجرد سحب الورقة لا تعود إلى المجموعة. يأخذ التوزيع الهندسي الفائق هذا الأمر في الاعتبار بدقة. إن احتجت إلى احتمالات مع إعادة الأوراق (كل ورقة تُعاد قبل السحب التالي)، يصلح التوزيع الثنائي ويمكنك الاستعانة بحاسبة الاحتمال الثنائي.

كيف أحسب احتمال تحقق يد بوكر كاملة كاللون الواحد (Flush)؟

لحالات تشترط شروطًا متعددة في آنٍ واحد تحتاج إلى عد التوافيق المواتية مباشرةً.

مثلًا لليد الملونة (5 أوراق من نفس اللون): C(13,5) = 1,287 طريقة لكل لون × 4 ألوان = 5,148 يدًا ملونة من أصل C(52,5) = 2,598,960 يدًا محتملة، أي نحو 0.197%. تُعالج هذه الأداة شرطًا واحدًا في المرة (k ورقة مستهدفة بالضبط أو على الأقل)؛ أما احتمالات أيدي البوكر المركبة فيمكن الرجوع إليها في جداول مرجعية متخصصة.

التالي الموصى به

حاسبة الاحتمال الثنائي

يحسب الاحتمال الدقيق P(X=k) والتراكمي P(X≤k) و P(X≥k) للتوزيع الثنائي، بإدخال عدد التجارب وعدد النجاحات واحتمال النجاح في كل تجربة.

 اعرف المزيد
حاسبة احتمال النرد

تحسب الاحتمال الدقيق للحصول على مجموع لا يقل عن قيمة مستهدفة عند رمي عدد من النردات، مع عرض النتيجة كسرًا مختزلًا وعشريًا.

 اعرف المزيد
حاسبة التوافيق — C(n, r)

احسب التوافيق C(n, r): عدد طرق اختيار r عنصر من n بصرف النظر عن الترتيب. يدعم n حتى 20.

 اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗