آخر تحديث: 2026-05-19

ما هي حاسبة المثلث القائم؟

المثلث القائم هو مثلث يحتوي على زاوية قائمة مقدارها 90°. بمعرفة أي قيمتين من قياساته — ضلعان، ضلع وزاوية، أو الوتر مع زاوية حادة — يمكن تحديد جميع القياسات الأخرى باستخدام نظرية فيثاغورس والدوال المثلثية. تتيح هذه الحاسبة أربعة أوضاع للحل وتُخرج الأضلاع والزوايا والمساحة والمحيط معاً في خطوة واحدة.

الأوضاع الأربعة للحل

الوضع	المعطيات	المحسوبات
الضلعان القائمان	الضلعان a وb	الوتر c، الزاويتان A وB، المساحة، المحيط
ضلع قائم + وتر	الضلع a والوتر c	الضلع b، الزاويتان A وB، المساحة، المحيط
ضلع قائم + زاوية	الضلع a والزاوية A	الضلع b، الوتر c، الزاوية B، المساحة، المحيط
وتر + زاوية	الوتر c والزاوية A	الضلعان a وb، الزاوية B، المساحة، المحيط

نظرية فيثاغورس

الأساس الرياضي للمثلث القائم:

a² + b² = c²

حيث a وb هما الضلعان القائمان، وc هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة والأطول بينها). إذا عُرف الضلعان القائمان: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. وإذا عُرف الوتر وأحد الضلعين: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

مثال محلول: منحدر يرتفع 1.2 م رأسياً على امتداد أفقي قدره 3.5 م. طول المنحدر (الوتر) = $\sqrt{1.2^2 + 3.5^2} = \sqrt{13.69} \approx 3.70$ م.

الجيب والجتا والظل (sin / cos / tan)

النسب المثلثية الثلاث تربط الزوايا بنسب الأضلاع في المثلث القائم:

• جا A = الضلع المقابل / الوتر = a / c
• جتا A = الضلع المجاور / الوتر = b / c
• ظا A = الضلع المقابل / الضلع المجاور = a / b

وبعكس هذه العلاقات:

• إيجاد الزاوية من الأضلاع: A = arctan(a / b)، أو عند معرفة الوتر: A = arcsin(a / c)
• إيجاد ضلع من الوتر والزاوية: a = c × جا A، و b = c × جتا A
• إيجاد ضلع من ضلع قائم وزاوية: b = a / ظا A

تنبثق النسب المثلثية من تعريف دائرة الوحدة: تدوير نصف القطر بزاوية A يُعطي الإحداثيات (cos A, sin A)، وهي بالضبط نسب الضلع المجاور والمقابل في مثلث قائم محاط بتلك الدائرة.

المساحة والمحيط

بعد معرفة الأضلاع الثلاثة:

• المساحة = a × b ÷ 2
• المحيط = a + b + c

مثال محلول: قطعة أرض مثلثية قائمة طول ضلعيها القائمين 7 م و24 م. مساحتها = ½ × 7 × 24 = 84 م²، ووترها = $\sqrt{625} = 25$ م، ومحيطها = 7 + 24 + 25 = 56 م. (3-4-5 و7-24-25 من أشهر ثلاثيات فيثاغورس الصحيحة.)

تطبيقات الأوضاع

الضلعان القائمان — الحالة الأكثر شيوعاً: حساب طول سلّم مستند إلى جدار، قطر مستطيل، أو مسافة على مخطط هندسي.

ضلع قائم + وتر — حين تُعرف المسافة المائلة (الوتر) وأحد الأضلاع الأفقية أو الرأسية؛ مثل معرفة طول عارضة السقف وامتداد الواجهة.

ضلع قائم + زاوية — شائع في المساحة والهندسة المدنية. مثال: ناقل أفقي بطول 5 م مائل بزاوية 30° — طول الناقل = 5 ÷ جتا 30° ≈ 5.77 م، والارتفاع = 5 × ظا 30° ≈ 2.89 م.

وتر + زاوية — يُستخدم في تحليل المتجهات في الفيزياء: قوة أو سرعة مقدارها c بزاوية A تنتج مركّباً أفقياً b = c × جتا A ومركّباً رأسياً a = c × جا A.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما الفرق بين هذه الحاسبة وحاسبة نظرية فيثاغورس؟

تجد حاسبة فيثاغورس الضلع الثالث فقط عند معرفة ضلعين. تضيف هذه الحاسبة أربعة أوضاع: بضلع وزاوية، تحسب جميع الأضلاع المجهولة والزاويتين الحادتين والمساحة والمحيط في خطوة واحدة.

كيف أحسب زاوية المثلث القائم من ضلعين؟

في وضع «ساقان»: الزاوية A = arctan(a / b). في وضع «ساق + وتر»: الزاوية A = arcsin(a / c). تُحسب الزاوية المكملة B = 90° − A تلقائيًا. مثال: مثلث 3-4-5 → A ≈ 36.87°، B ≈ 53.13°.

كيف أجد طول الساق من الوتر والزاوية؟

اختر وضع «وتر + زاوية». بالوتر c والزاوية A: a = c × sin(A)، b = c × cos(A). مثال: c = 10، A = 37° → a ≈ 6.02، b ≈ 7.99.

ما نسبة أضلاع المثلث القائم ذي الزاوية 45°؟

المثلث القائم المتساوي الساقين (45°-45°-90°) له ساقان متساويتان. نسبة الأضلاع هي 1 : 1 : √2 ≈ 1.414. لساق طولها a: الوتر = a√2، المساحة = a² / 2.