حاسبة التقريب
المدخلات
| العدد | 3.14159 |
|---|---|
| المنازل العشرية | 2 |
| طريقة التقريب | تقريب نصف للأعلى |
حاسبة التقريب
قرِّب أي عدد إلى عدد محدد من المنازل العشرية باستخدام خمس طرق: التقريب للأعلى، وتقريب المصرفيين، والأرضية، والسقف، والحذف.
المدخلات
النتائج
أدخل قيمة لعرض النتائج.
طرق التقريب الأخرى
التقريب هو استبدال عدد بقيمة تقريبية ذات منازل أقل، مع الحفاظ على القيمة قريبةً من الأصل قدر الإمكان. تعتمد النتيجة على اختيارين: عدد المنازل العشرية المُحتفَظ بها وقاعدة حسم حالات المنتصف عندما يكون الجزء المحذوف يساوي النصف بالضبط.
طرق التقريب الخمس
التقريب للأعلى (Round Half Up)
الطريقة الأكثر شيوعاً في الاستخدام اليومي. حين يكون الجزء المحذوف يساوي 0.5 بالضبط، تذهب النتيجة نحو اللانهاية الموجبة.
- 2.5 ← 3
- −2.5 ← −2 (نحو +∞، وليس بعيداً عن الصفر)
هذه هي القاعدة التي تُدرَّس في المدارس وتستخدمها كثير من تطبيقات جداول البيانات.
التقريب للزوجي — تقريب المصرفيين (Round Half to Even)
حين يكون الجزء المحذوف يساوي 0.5 بالضبط، يُقرَّب العدد إلى الجار الذي ينتهي برقم زوجي.
- 2.5 ← 2 (2 زوجي)
- 3.5 ← 4 (4 زوجي)
- 4.5 ← 4 (4 زوجي)
- 5.5 ← 6 (6 زوجي)
تقريب المصرفيين هو المعيار الافتراضي في الحساب العائم IEEE 754، وفي الدالة round() بـ Python 3، وفي RoundingMode.HALF_EVEN بـ Java. ميزته على التقريب التقليدي أنه يُزيل التحيز التراكمي نحو الأعلى الذي يتراكم عند معالجة مجموعات بيانات كبيرة تحتوي على كثير من نقاط المنتصف.
الأرضية (Floor)
تُقرِّب الأرضية دائماً نحو اللانهاية السالبة، بصرف النظر عن قيمة الجزء الكسري.
- 2.9 ← 2
- −2.1 ← −3
السقف (Ceiling)
يُقرِّب السقف دائماً نحو اللانهاية الموجبة، بصرف النظر عن قيمة الجزء الكسري.
- 2.1 ← 3
- −2.9 ← −2
الحذف (Truncate)
يُسقط الحذف الجزء الكسري ويتجه نحو الصفر. للأعداد الموجبة، نتيجة الحذف مطابقة للأرضية؛ يظهر الفرق بينهما عند الأعداد السالبة.
- 2.9 ← 2 (مثل الأرضية)
- −2.9 ← −2 (وليس −3، على خلاف الأرضية)
الصيغة الحسابية
بمعلومية عدد x وعدد المنازل العشرية d:
- يُحسب عامل القياس: s = 10^d
- يُضرب العدد: x × s
- تُطبَّق طريقة التقريب المختارة للحصول على عدد صحيح n
- يُقسم الناتج: n / s
مثال على d = 2 وx = 3.14159:
- s = 100
- x × s = 314.159
- التقريب للأعلى ← 314
- 314 / 100 = 3.14
المنازل العشرية السالبة
ضبط المنازل العشرية على عدد صحيح سالب ينقل نقطة التقريب إلى يسار الفاصلة العشرية:
| المنازل العشرية | التقريب إلى أقرب |
|---|---|
| −1 | 10 |
| −2 | 100 |
| −3 | 1,000 |
مثال. تقريب 3,749 إلى أقرب مئة (المنازل العشرية = −2):
- s = 10^(−2) = 0.01
- 3,749 × 0.01 = 37.49
- round(37.49) = 37
- 37 / 0.01 = 3,700
الأرضية مقابل الحذف
يظهر الفرق بين الطريقتين فقط عند الأعداد السالبة:
| العدد | الأرضية | الحذف |
|---|---|---|
| 2.7 | 2 | 2 |
| −2.7 | −3 | −2 |
| −0.1 | −1 | 0 |
الأرضية تبتعد عن الصفر في الأعداد السالبة، أما الحذف فيقترب منه.
الدقة والحساب العائم
لا يمكن تمثيل معظم الكسور العشرية تمثيلاً دقيقاً في الحساب العائم الثنائي وفق IEEE 754. فمثلاً، 3.55 × 10 تُخزَّن داخلياً كـ 35.499999999999996 تقريباً، لا كـ 35.5 بالضبط. لذلك لا تُفعَّل قاعدة التقريب للزوجي إلا حين تكون القيمة بعد القياس نصف عدد صحيح ثنائي دقيق. بالنسبة لمعظم الكسور العشرية «المستديرة» — كـ 3.45 أو 6.55 — لا تُستدعى قاعدة حسم المنتصف وتُعطي جميع الطرق النتيجة ذاتها.
هذه خاصية متأصلة في الحساب الثنائي العائم، لا خطأً في الحاسبة. السلوك مطابق لما تُنتجه Python وJavaScript وسائر لغات IEEE 754.
مثال عملي: مقارنة جميع الطرق على 2.5
| الطريقة | النتيجة |
|---|---|
| التقريب للأعلى | 3 |
| تقريب المصرفيين | 2 |
| الأرضية | 2 |
| السقف | 3 |
| الحذف | 2 |
يوضح هذا الجدول أهمية اختيار طريقة التقريب: عدد واحد يُنتج خمس نتائج مختلفة بحسب القاعدة المطبَّقة.
الأسئلة الشائعة (FAQ)
ما هو تقريب المصرفيين؟
تقريب المصرفيين (المعروف أيضاً بالتقريب للزوجي أو round-half-to-even) هو قاعدة لحسم حالات المنتصف: حين يقع العدد بالضبط بين قيمتين، يُقرَّب إلى الجار الذي ينتهي برقم زوجي. مثلاً، 2.5 يُقرَّب إلى 2 (لأن 2 زوجي)، و3.5 يُقرَّب إلى 4 (لأن 4 زوجي).
تُعدّ هذه القاعدة المعيار الافتراضي في الحساب العائم وفق IEEE 754، وتُعتمد في أنظمة مالية ولغات برمجة عديدة، لأنها تُزيل التحيز التراكمي نحو الأعلى الذي ينشأ عند معالجة مجموعات بيانات كبيرة تحتوي على كثير من نقاط المنتصف.
كيف أقرِّب إلى أقرب مئة؟
اضبط حقل المنازل العشرية على −2. القيمة السالبة تنقل نقطة التقريب إلى يسار الفاصلة العشرية: −1 للتقريب إلى أقرب عشرة، و−2 لأقرب مئة، و−3 لأقرب ألف، وهكذا. مثال: تقريب 3,749 إلى أقرب مئة (المنازل العشرية = −2) يُعطي 3,700 بطريقة التقريب للأعلى، لأن 3,749 أقرب إلى 3,700 منه إلى 3,800.
ما الفرق بين الأرضية (Floor) والحذف (Truncate)؟
بالنسبة للأعداد الموجبة تعطي الطريقتان النتيجة ذاتها: floor(2.9) = trunc(2.9) = 2. يظهر الفرق عند الأعداد السالبة: الأرضية تقرِّب دائماً نحو −∞، فنحصل على floor(−2.9) = −3. أما الحذف فيقرِّب دائماً نحو الصفر، فنحصل على trunc(−2.9) = −2. بمعنى آخر: الأرضية تُعطي العدد الأبعد عن الصفر، والحذف يُعطي الأقرب إلى الصفر.
لماذا يُقرَّب 0.5 أحياناً للأسفل؟
في التقريب التقليدي (للأعلى) تذهب قيم المنتصف دائماً نحو +∞، فيكون 0.5 ← 1 و−0.5 ← 0. أما في تقريب المصرفيين (للزوجي)، فتذهب قيم المنتصف إلى الجار الزوجي: 0.5 ← 0 (لأن 0 زوجي)، و1.5 ← 2، و2.5 ← 2، و3.5 ← 4.
من اعتاد على القاعدة المدرسية التي تُقرِّب 0.5 دائماً للأعلى قد يجد تقريب المصرفيين مغايراً للتوقع — غير أنه المعيار الافتراضي في IEEE 754، وبالتالي يظهر في جداول البيانات ولغات البرمجة وغالبية الحاسبات العلمية.
التالي الموصى به
محوّل الترميز العلمي
يحوّل أي عدد بين الترميز العشري والترميز العلمي (M × 10^E) في الاتجاهين. مثالي للأعداد الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً.