مثلث باسكال

عدد الصفوف N	8
العمود k	3

عدد الصفوف N

العمود k

آخر تحديث: 2026-07-02

التعريف

مثلث باسكال هو ترتيب مثلثي للأعداد يكون فيه كل عنصر معاملًا ثنائيًا. القمة هي $1$ منفرد (الصف $0$ )، ويبدأ كل صف تالٍ وينتهي بالرقم $1$ . يحتوي الصف $n$ على المعاملات:

\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}

وهذه هي بالضبط الأعداد التي تظهر عند نشر $(a + b)^n$ ، ولذلك يقع هذا المثلث عند نقطة التقاء التوافيق مع الجبر.

البناء

كل عنصر داخلي هو مجموع العنصرين الواقعين فوقه مباشرةً. هذه هي قاعدة باسكال:

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

وبما أن القطرين الخارجيين دائمًا $1$ (هناك طريقة واحدة فقط لاختيار لا شيء أو اختيار الكل، أي $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ )، يمكن بناء المثلث كاملًا بالجمع وحده انطلاقًا من القمة:

مثال محلول

لنبنِ $6$ صفوف ونقرأ العنصر عند العمود $k = 2$ في الصف الأخير. عندما $N = 6$ ، يكون رقم الصف الأخير $N - 1 = 5$ :

1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1

العنصر عند $k = 2$ هو المعامل الثنائي $\binom{5}{2}$ :

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10

وتنتج القيمة نفسها من قاعدة باسكال باستخدام الصف السابق ( $1, 4, 6, 4, 1$ ):

\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10

مجاميع الصفوف

مجموع عناصر الصف $n$ يساوي دائمًا قوة للعدد اثنين:

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

ينتج ذلك مباشرةً من نظرية ذات الحدين عند وضع $a = b = 1$ : $(1 + 1)^n = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n$ . وبالنسبة للصف السابق، $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$ ، وهي طريقة سريعة للتأكد من نسخ الصف بشكل صحيح.

الأنماط

تختبئ في المثلث عدة متتاليات معروفة. القطر الخارجي كله آحاد؛ والقطر التالي يعدّ الأعداد الطبيعية $1, 2, 3, 4, \ldots$ ؛ والقطر الثالث يعطي الأعداد المثلثية $1, 3, 6, 10, \ldots$ . وبجمع العناصر على امتداد الأقطار المائلة قليلًا تظهر متتالية فيبوناتشي. كما أن كل صف متماثل:

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

فيُقرأ بالطريقة نفسها من اليمين ومن اليسار، لأن اختيار أي $k$ عنصرًا لإدراجها يكافئ اختيار أي $n - k$ عنصرًا لتركها.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو مثلث باسكال؟

مثلث باسكال هو ترتيب مثلثي للأعداد يكون فيه كل عنصر معاملًا ثنائيًا. القمة هي 1 منفرد (الصف 0)، ويبدأ كل صف تالٍ وينتهي بالرقم 1. الصف n هو C(n، 0)، C(n، 1)، …، C(n، n)، وهي المعاملات التي تظهر عند نشر (a + b)ⁿ. فمثلًا الصف 4 هو 1، 4، 6، 4، 1، ويطابق (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

كيف يُبنى كل عنصر؟

كل عنصر داخلي هو مجموع العنصرين الواقعين فوقه مباشرةً. هذه هي قاعدة باسكال: C(n، k) = C(n − 1، k − 1) + C(n − 1، k). انطلاقًا من الرقم 1 في القمة، يمكن بناء المثلث كاملًا بالجمع فقط، دون حساب أي مضروب. والحواف دائمًا 1 لأن C(n، 0) = C(n، n) = 1.

لماذا يكون مجموع كل صف قوة للعدد 2؟

مجموع عناصر الصف n هو 2ⁿ. ينتج ذلك من نظرية ذات الحدين عند وضع a = b = 1: (1 + 1)ⁿ = Σ C(n، k) = 2ⁿ. لذا مجموع الصف 0 هو 1، والصف 1 هو 2، والصف 2 هو 4، والصف 10 هو 1024. وهي طريقة سريعة للتحقق من صحة كتابة الصف.

ما الأنماط الخفية في مثلث باسكال؟

أنماط عديدة. القطر الخارجي كله آحاد؛ والقطر التالي يعدّ 1، 2، 3، 4، … (الأعداد الطبيعية)؛ والقطر الثالث يعطي الأعداد المثلثية 1، 3، 6، 10، …. وبجمع العناصر على امتداد الأقطار المائلة قليلًا تظهر متتالية فيبوناتشي. كما أن كل صف متماثل لأن C(n، k) = C(n، n − k)، فيُقرأ بالطريقة نفسها من اليمين ومن اليسار.

مثلث باسكال

المدخلات

مثلث باسكال