Skip to content
تاريخ الإنشاء: 20 يوليو 2026 في 09:34 م

حاسبة الزاوية بين متجهين

المدخلات

a — المركبة x1
a — المركبة y0
a — المركبة z0
b — المركبة x1
b — المركبة y1
b — المركبة z0

أُنشئ باستخدام OneCalc · https://onecalc.app/ar/math/angle-between-vectors

الرياضيات

حاسبة الزاوية بين متجهين

أوجد الزاوية بين متجهين انطلاقًا من مركباتهما باستخدام صيغة الضرب القياسي. تُعرض النتيجة بالدرجات أو بالراديان، مع الضرب القياسي والمقادير وخطوات حل تفصيلية. تعمل في بُعدين (اترك z = 0) وثلاثة أبعاد.

المدخلات

المتجه a

المتجه b

النتائج

أدخل قيمة لعرض النتائج.

درجة

تفاصيل

خطوات الحل التفصيلية

\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{(?)(?)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \theta &= \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right) \\ &= \arccos(?) \\ &= ? \end{aligned}

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

الزاوية بين متجهين

المتجهان اللذان يتشاركان نقطة بداية واحدة يفتحان زاوية بينهما. تقيس هذه الزاوية مدى توافق اتجاهي المتجهين: فالزاوية الصغيرة تعني أنهما يشيران تقريبًا إلى الاتجاه نفسه، والزاوية القائمة تعني أنهما متعامدان، والزاوية المستقيمة تعني أنهما متعاكسان. ويحوّل الضرب القياسي هذه الفكرة الهندسية إلى صيغة تُحسب مباشرة من المركبات.

الصيغة

يرتبط الضرب القياسي لمتجهين بالزاوية المحصورة بينهما عبر العلاقة

a⋅b=∣a∣ ∣b∣cos⁡θ\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta

وبحل المعادلة بالنسبة إلى الزاوية نحصل على الصيغة العملية:

θ=arccos⁡ ⁣(a⋅b∣a∣ ∣b∣)\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right)

الكسر بالداخل هو جيب تمام الزاوية. ولأن القسمة على المقدارين تُلغي الطولين، فإن الاتجاهين وحدهما هما المهمان — وضرب أحد المتجهين في عدد ثابت لا يغيّر الزاوية.

الأجزاء

  • الضرب القياسي: a⋅b=axbx+ayby+azbz\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
  • المقدار: ∣a∣=ax2+ay2+az2|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}، وبالمثل للمتجه b\mathbf{b}.
  • جيب التمام: نقسم الضرب القياسي على حاصل ضرب المقدارين. تقع النتيجة دائمًا بين −1 و1.
  • الزاوية: نأخذ قوس جيب التمام. وتقع الإجابة بين 0° و180°.

مثال محلول

ليكن a = (1, 0, 0) وb = (1, 1, 0).

الضرب القياسي هو

a⋅b=(1)(1)+(0)(1)+(0)(0)=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(0) = 1

والمقداران هما

∣a∣=12+02+02=1,∣b∣=12+12+02=2|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1, \qquad |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}

إذن جيب تمام الزاوية هو

cos⁡θ=1(1)(2)=12≈0.7071\cos\theta = \frac{1}{(1)(\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071

والزاوية

θ=arccos⁡ ⁣(12)=45°=π4 rad\theta = \arccos\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45° = \frac{\pi}{4}\ \text{rad}

التحقق من التعامد

الزاوية القائمة هي أسهل الحالات تمييزًا. فعندما يكون الضرب القياسي صفرًا تمامًا، يكون جيب التمام صفرًا والزاوية 90°: عندئذٍ يكون المتجهان متعامدين، أي متعامدين عموديًا. فمن أجل a = (1, 0) وb = (0, 1) يكون الضرب القياسي (1)(0)+(0)(1)=0(1)(0) + (0)(1) = 0، إذن الزاوية بينهما 90°. ولهذا فإن اختبار a⋅b=0\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 هو الطريقة المعتادة للتحقق مما إذا كان اتجاهان متعامدين.

الاتجاه نفسه والاتجاهان المتعاكسان

تحدّ حالتان مرجعيتان أخريان المجال:

  • عندما يشير المتجهان إلى الاتجاه نفسه، يكون جيب التمام 1 والزاوية 0°.
  • وعندما يشيران إلى اتجاهين متعاكسين، يكون جيب التمام −1 والزاوية 180°.

وكل زوج آخر يقع بين هذين الطرفين، ولذلك تقع الزاوية بين متجهين دائمًا في المجال من 0° إلى 180°.

الدرجات أو الراديان

يمكن قراءة الزاوية نفسها بأي من الوحدتين. فالدرجات تقسّم الدورة الكاملة إلى 360 جزءًا، أما الراديان فيقيس الزاوية بوصفها طول قوس على دائرة الوحدة، حيث تساوي الدورة الكاملة 2π2\pi. والتحويل هو 180°=π rad180° = \pi\ \text{rad}، فتكون 45° مساوية π/4\pi/4 و90° مساوية π/2\pi/2. بدّل الوحدة في النتيجة لترى الصورة التي تناسب مسألتك.

بُعدان وثلاثة أبعاد

الصيغة واحدة في بُعدين وثلاثة أبعاد — ولا يتغير سوى عدد حواصل ضرب المركبات. وفي المسائل المستوية ثنائية البُعد، اترك مركبتي z كلتيهما 0؛ فيخرج الضرب القياسي والمقداران والزاوية كما لو لم تكن حدود z موجودة من الأساس.

أين تظهر

  • الفيزياء: يعتمد الشغل الذي تبذله قوة على الزاوية بين القوة والإزاحة، W=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta.
  • رسوميات الحاسوب: تحدّد الزاوية بين عمودي السطح واتجاه الضوء مدى سطوع إضاءة السطح.
  • الملاحة والهندسة: إيجاد فرق الاتجاه بين مسارين، أو زاوية رأس شكل انطلاقًا من متجهات أضلاعه.
  • تعلُّم الآلة: تشابه جيب التمام بين متجهات السمات هو بالضبط جيب تمام الزاوية المحسوبة هنا.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

كيف تُحسب الزاوية بين متجهين؟

احسب الضرب القياسي a · b، ثم اقسمه على حاصل ضرب المقدارين |a| |b| للحصول على جيب تمام الزاوية، ثم طبّق قوس جيب التمام: θ = arccos((a · b) / (|a| |b|)). فمن أجل a = (1, 0) وb = (1, 1): a · b = 1، و|a| = 1، و|b| = √2، إذن cos θ = 1/√2 وθ = 45°.

هل تعمل الصيغة مع المتجهات ثنائية وثلاثية البُعد؟

نعم. صيغة الضرب القياسي واحدة في أي بُعد. في المسائل ثنائية البُعد اترك مركبتي z كلتيهما 0 ولن تتغير النتيجة. وفي ثلاثة أبعاد املأ المركبات الثلاث لكل متجه.

كيف أعرف أن متجهين متعامدان؟

يكون المتجهان غير الصفريين متعامدين (متعامدين عموديًا) إذا وفقط إذا كان ضربهما القياسي يساوي صفرًا، عندئذٍ تكون الزاوية 90°. فمثلًا (1, 0) و(0, 1) ضربهما القياسي 0، إذن الزاوية بينهما 90°.

ما المجال الذي يمكن أن تقع فيه الزاوية؟

تتراوح الزاوية بين متجهين من 0° إلى 180° (من 0 إلى π راديان). تكون 0° عندما يشير المتجهان إلى الاتجاه نفسه، و90° عندما يكونان متعامدين، و180° عندما يشيران إلى اتجاهين متعاكسين. وتُرجع الصيغة دائمًا الزاوية الأصغر غير السالبة بين الاتجاهين.

التالي الموصى به

حاسبة الضرب النقطي للمتجهات

احسب الضرب النقطي لمتجهين n-بعديين، والزاوية بينهما، وجيب تمام الزاوية، ومقداريهما — مع خطوات اشتقاق تفصيلية. أدخل المركبات مفصولة بفواصل.

 اعرف المزيد
حاسبة إسقاط المتجهات

أسقِط المتجه a على المتجه b: الإسقاط القياسي، ومركبات الإسقاط الاتجاهي، والمركبة العمودية (المتبقية). تعمل في بُعدين (اترك z = 0) وثلاثة أبعاد، مع خطوات حل تفصيلية.

 اعرف المزيد
حاسبة الضرب الاتجاهي (متجهات ثلاثية الأبعاد)

احسب ضرب المتجهات (الضرب الاتجاهي) لمتجهين ثلاثيين — المركبات، المقدار، ومساحة متوازي الأضلاع — باستخدام طريقة المحدد مع خطوات حل تفصيلية.

 اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗