آخر تحديث: 2026-06-23

ما تقوم به هذه الحاسبة

تُجري هذه الحاسبة اختبار t لعينتين انطلاقًا من إحصاءات موجزة. بمعلومية الوسط الحسابي والانحراف المعياري وحجم العينة لمجموعتين مستقلتين، تعرض إحصائية t ودرجات الحرية والقيمة الاحتمالية ثنائية الطرف، وهي الأدوات المعتادة لتقرير ما إذا كان وسطا المجموعتين الحسابيان يختلفان بأكثر من تشويش المعاينة وحده.

ما يجيب عنه اختبار t لعينتين

عندما تنتج مجموعتان متوسطين مختلفين، كمجموعة معالَجة ومجموعة ضابطة، أو نسختين A وB، أو عينتين من مصنعين، فإن المتوسطين لا يكادان يتطابقان حتى عندما تكون العمليات الكامنة متماثلة، وذلك لأن كل عينة تحمل تباينًا عشوائيًا. يطرح اختبار t لعينتين سؤالًا دقيقًا: إذا كان للمجتمعين الوسط الحسابي نفسه فعلًا، فما مدى ندرة فرق بهذا الاتساع؟ والجواب هو القيمة الاحتمالية.

صيغة t لويلش

تستخدم هذه الحاسبة اختبار t لويلش، الذي لا يفترض أن المجموعتين تتقاسمان تباينًا مشتركًا. إحصائية t هي الفرق بين الوسطين الحسابيين مقسومًا على الخطأ المعياري لذلك الفرق:

حيث $\bar{x}_1, \bar{x}_2$ هما وسطا العينتين الحسابيان، و$s_1, s_2$ الانحرافان المعياريان للعينتين، و$n_1, n_2$ حجما العينتين. المقام هو الخطأ المعياري، وهو يزداد مع تشتت المجموعتين ويتقلص كلما كبرت العينات، فيغدو الفرق نفسه بين الوسطين أكثر إقناعًا مع توافر بيانات أكثر.

لماذا يُفضَّل ويلش على الاختبار المجمَّع (ستيودنت)

اختبار ستيودنت الكلاسيكي لـ t يجمع الانحرافين المعياريين في تقدير تباين واحد، وهو أمر لا يصح إلا حين يتساوى تباين المجتمعين. أما صيغة ويلش فتبقي التباينين منفصلين، كما تبين الصيغة أعلاه. ولأن تساوي التباينين هو الاستثناء لا القاعدة في البيانات الفعلية، يُوصى باختبار ويلش بوصفه الخيار الافتراضي. فهو يؤدي أداءً يكاد يطابق الاختبار المجمَّع حين يتصادف تساوي التباينين، ويظل دقيقًا حين لا يتساويان، ولا سيما عندما تختلف المجموعتان أيضًا في الحجم.

درجات الحرية (ويلش–ساترثويت)

لأن التباينين غير مجمَّعين، لا يكون لتوزيع المرجع درجات حرية عددية صحيحة بسيطة. يقرّبها اختبار ويلش بمعادلة ويلش–ساترثويت:

النتيجة في العموم ليست عددًا صحيحًا، وهي تقع بين أصغر $n_1 - 1$ و$n_2 - 1$ وبين مجموعهما. درجات الحرية الأقل تجعل ذيلي توزيع t أثقل، مما يجعل الاختبار أكثر حذرًا على نحو ملائم مع العينات الصغيرة أو غير المتساوية.

القيمة الاحتمالية وكيفية قراءتها

بمجرد معرفة $t$ و$df$، تكون القيمة الاحتمالية ثنائية الطرف

حيث $F_t$ دالة التوزيع التراكمي لتوزيع t. عامل الاثنين والقيمة المطلقة يحتسبان الانحرافات في كلا الاتجاهين، أي وسط حسابي أكبر للمجموعة الأولى أو وسط حسابي أكبر للمجموعة الثانية.

تُقارن القيمة الاحتمالية بمستوى دلالة $\alpha$ يُختار قبل النظر في البيانات، ويكون 0.05 في العادة:

• p < α — الفرق دال إحصائيًا؛ تقدم البيانات دليلًا ضد تساوي الوسطين الحسابيين.
• p ≥ α — لا تقدم البيانات دليلًا كافيًا لرفض تساوي الوسطين الحسابيين (وهذا ليس إثباتًا لتساويهما).

القيمة الاحتمالية ليست احتمال تساوي الوسطين الحسابيين، والناتج غير الدال ليس إثباتًا لانعدام الفرق. إنها تقيس فقط مدى توافق البيانات مع افتراض تساوي الوسطين.

مثال محلول

المجموعة الأولى لها وسط حسابي 10 وانحراف معياري 2 و30 مشاهدة؛ والمجموعة الثانية لها وسط حسابي 12 وانحراف معياري 2.5 و30 مشاهدة.

عند $p \approx 0.0012$، وهي أدنى بكثير من 0.05، يكون الفرق بين وسطي المجموعتين الحسابيين دالًا إحصائيًا.

القيمة الاحتمالية الدالة تخبر بأن الفرق قابل للكشف، لا بمقدار حجمه. تُقرَن بمقياس لحجم الأثر مثل حاسبة معامل كوهين d، الذي يعبر عن الفجوة بين الوسطين الحسابيين بوحدات الانحراف المعياري ولا يتضخم مع حجم العينة.

الافتراضات

يقوم اختبار t لعينتين على بضعة شروط:

• الاستقلال — المجموعتان مستقلتان، والمشاهدات داخل كل مجموعة مستقلة. القياسات المزدوجة أو المتكررة تحتاج إلى اختبار مزدوج بدلًا من ذلك.
• التوزيع الطبيعي التقريبي — كل مجموعة موزعة توزيعًا طبيعيًا تقريبًا، أو تكون العينات كبيرة بما يكفي لأن تجعل نظرية النهاية المركزية توزيع المعاينة للوسط الحسابي طبيعيًا تقريبًا. مع أحجام عينات معتدلة وغياب الالتواء الشديد، يكون الاختبار متينًا إلى حد معقول.
• يُسمح بعدم تساوي التباينين — تتعامل صيغة ويلش مع اختلاف تباين المجموعتين مباشرة، فلا حاجة إلى اختبار تساوي التشتت أو افتراضه.

يُفضَّل اختبار t لويلش بوصفه الخيار الافتراضي المعتاد لمقارنة وسطين حسابيين. وعندما تكون إحصائية الاختبار بالفعل قيمة z معيارية لا إحصاءات موجزة، تحوّلها حاسبة القيمة الاحتمالية من الدرجة المعيارية z إلى قيمة احتمالية باستخدام التوزيع الطبيعي بدلًا من ذلك.