آخر تحديث: 2026-07-02

معادلة القطع الزائد

القطع الزائد هو مجموعة كل النقاط التي يكون الفرق بين بُعديها عن نقطتين ثابتتين — البؤرتين — مقدارًا ثابتًا. القطع الزائد الأفقي الذي مركزه $(h, k)$ له الصورة القياسية:

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

إشارة الطرح هي ما يميّز القطع الزائد عن القطع الناقص. فهي تنتج فرعين منفصلين ينفتحان يمينًا ويسارًا، ويتّجه كل منهما نحو زوج من المستقيمات يُسمّى خطي التقارب. تأخذ هذه الحاسبة نصف المحور القاطع $a$ ونصف المحور المرافق $b$ والمركز $(h, k)$ وتُرجع البعد البؤري والرأسين والبؤرتين والاختلاف المركزي وميل خطي التقارب.

الرأسان والبؤرتان والبعد البؤري

الرأسان هما النقطتان اللتان يكون عندهما الفرعان أقرب ما يكونان. يقعان على المحور القاطع على بُعد $a$ من المركز:

$V = (h \pm a,\ k)$

أما البؤرتان فتقعان أبعد، على بُعد $c$ من المركز، حيث

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\Longrightarrow\qquad F = (h \pm c,\ k)$

ولاحظ أن $c > a$ دائمًا لأن $b^2 > 0$. وهذا عكس علاقة القطع الناقص $c = \sqrt{a^2 - b^2}$: في القطع الزائد تقع البؤرتان خارج الرأسين لا داخلهما.

خطا التقارب والاختلاف المركزي

بعيدًا عن المركز يلتصق كل فرع بأحد مستقيمين يمرّان بالمركز بميلين $\pm b/a$:

$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$

ومن الطرق السريعة لرسمهما يدويًّا رسم المستطيل المركزي بعرض $2a$ وارتفاع $2b$ حول $(h, k)$؛ فخطا التقارب هما امتداد قطريه.

يقيس الاختلاف المركزي مدى انفتاح الفرعين:

$e = \frac{c}{a}$

وبما أن $c > a$، فإن للقطع الزائد دائمًا $e > 1$. (القطع الناقص له $0 \le e < 1$، والقطع المكافئ عند $e = 1$ تمامًا.)

مثال محلول

المسألة: صف القطع الزائد $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

الخطوة 1 — قراءة نصفي المحورين: $a^2 = 9$ و$b^2 = 16$، إذن $a = 3$ و$b = 4$. والمركز $(0, 0)$.

الخطوة 2 — الرأسان: عند $(\pm a, 0) = (3, 0)$ و$(-3, 0)$.

الخطوة 3 — البعد البؤري:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

فتكون البؤرتان $(5, 0)$ و$(-5, 0)$.

الخطوة 4 — الاختلاف المركزي:

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1.667$

الخطوة 5 — خطا التقارب: الميل $\pm b/a = \pm \tfrac{4}{3}$، أي $y = \pm \tfrac{4}{3}x$.

وعليه فإن لهذا القطع الزائد رأسين $(\pm 3, 0)$، وبؤرتين $(\pm 5, 0)$، واختلافًا مركزيًّا $5/3$، وخطي تقارب $y = \pm\tfrac{4}{3}x$.

نصف الوتر البؤري

من نقاط التحقّق المفيدة ارتفاع الفرع فوق إحدى البؤرتين مباشرة. وبتعويض $x = c$ في المعادلة نحصل على $y = \pm b^2/a$، وهو مقدار يُسمّى نصف الوتر البؤري القائم. في المثال أعلاه يساوي $16/3 \approx 5.33$؛ فالمنحنى يمرّ بالنقطة $(5, \pm 16/3)$، ولذلك يكون الفرع مرتفعًا نسبيًّا بالفعل عند بلوغه البؤرة.

الفرق بين المحور القاطع والمحور المرافق

المحور القاطع يصل بين الرأسين ويمرّ بالبؤرتين، ونصف طوله $a$. أما المحور المرافق فعمودي عليه ويمرّ بالمركز، ونصف طوله $b$. وبخلاف القطع الناقص، لا يُشترط أن يكون $a > b$؛ فالفرعان يقطعان المحور القاطع أيًّا كان الأكبر من $a$ أو $b$. وعندما يكون $a = b$ يكون خطا التقارب مستقيمين متعامدين $y = \pm(x - h) + k$، ويُسمّى القطع الزائد حينئذٍ متساوي المحورين (قائمًا)، واختلافه المركزي $\sqrt{2}$ تمامًا.