آخر تحديث: 2026-07-02

بؤرتا القطع الناقص

يُوصف القطع الناقص في وضعه القياسي بالمعادلة

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

حيث $a$ هو نصف المحور في اتجاه x و$b$ نصف المحور في اتجاه y. لكل قطع ناقص نقطتان داخليتان مميزتان هما البؤرتان. وهما ما يجعل القطع الناقص قطعًا ناقصًا: فعند أي نقطة على المنحنى يكون مجموع المسافتين إلى البؤرتين ثابتًا. إذا شددتَ حلقة من الخيط حول دبوسين وتتبعتها بقلم مع إبقائها مشدودة، رسم القلم قطعًا ناقصًا بؤرتاه هما الدبوسان.

تأخذ هذه الأداة $a$ و$b$ وتُعيد البُعد البؤري والبؤرتين نفسيهما والاختلاف المركزي والرؤوس وأطوال المحورين الأكبر والأصغر.

نصف المحور الأكبر ونصف المحور الأصغر

الأطول من المحورين هو المحور الأكبر، والأقصر هو المحور الأصغر، ونصف كلٍّ منهما هو نصف محور. ولجعل الصيغ مستقلة عن الاتجاه نسمّي نصف المحور الأكبر $A$ والأصغر $B$:

$A = \max(a, b) \qquad B = \min(a, b)$

تقع البؤرتان دائمًا على المحور الأكبر. فإذا كان $a > b$ كان المحور الأكبر أفقيًا، وإذا كان $b > a$ كان رأسيًا.

البُعد البؤري

البُعد من المركز إلى كل بؤرة، $c$، يُشتق من نصفي المحورين:

$c = \sqrt{A^2 - B^2}$

وبما أن $A \ge B$ فإن ما تحت الجذر لا يكون سالبًا أبدًا. في القطع الأفقي تقع البؤرتان عند $(\pm c, 0)$، وفي الرأسي عند $(0, \pm c)$.

الاختلاف المركزي

يقيس الاختلاف المركزي مقدار ابتعاد القطع الناقص عن الدائرة:

$e = \frac{c}{A}$

ويحقق دائمًا $0 \le e < 1$. فعندما يكون $a = b$ يتساوى نصفا المحورين ويكون $c = 0$ و$e = 0$، أي دائرة. وكلما كبر أحد المحورين بالنسبة للآخر اقترب $e$ من $1$ وصار القطع الناقص طويلًا وضيقًا.

الرؤوس وأطوال المحاور

الرؤوس هي طرفا المحور الأكبر، على بُعد $A$ من المركز: $(\pm A, 0)$ في قطع أفقي أو $(0, \pm A)$ في قطع رأسي. وطرفا المحور الأصغر يُسمّيان الرأسين المرافقين. وأطوال المحاور الكاملة هي

$\text{المحور الأكبر} = 2A \qquad \text{المحور الأصغر} = 2B$

مثال محلول

المسألة: أوجد بؤرتي $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ واختلافها المركزي وأطوال محاورها.

الخطوة 1 — قراءة نصفي المحورين: $a^2 = 25$ إذن $a = 5$، و$b^2 = 9$ إذن $b = 3$. وبما أن $a > b$ فالمحور الأكبر أفقي مع $A = 5$ و$B = 3$.

الخطوة 2 — البُعد البؤري:

$c = \sqrt{A^2 - B^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

الخطوة 3 — البؤرتان: على المحور الأكبر الأفقي، عند $(\pm 4, 0)$، أي $F_1 = (-4, 0)$ و$F_2 = (4, 0)$.

الخطوة 4 — الاختلاف المركزي:

$e = \frac{c}{A} = \frac{4}{5} = 0.8$

الخطوة 5 — الرؤوس والمحاور: الرؤوس عند $(\pm 5, 0)$؛ المحور الأكبر $2A = 10$، المحور الأصغر $2B = 6$.

فلهذا القطع الناقص إذن بؤرتان عند $(-4, 0)$ و$(4, 0)$، واختلاف مركزي $0.8$، ومحوران بطولي $10$ و$6$.

القطوع الرأسية

عندما يكون $b > a$ يكون القطع الناقص أعلى منه عرضًا، فيصبح المحور الأكبر رأسيًا. وتتبادل الأدوار ببساطة: $A = b$، $B = a$، وتنتقل البؤرتان إلى محور y عند $(0, \pm c)$. فمثلًا $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ فيه $A = 5$ و$B = 3$، ونفس $c = 4$ كما سبق، لكن البؤرتين عند $(0, -4)$ و$(0, 4)$. وتختار الأداة الاتجاه تلقائيًا حسب أيّ نصفي المحورين أكبر.

لماذا يكون مجموع المسافتين ثابتًا

ترتبط الخاصية المُعرِّفة $r_1 + r_2 = 2A$ بـ$c$ مباشرة. فعند رأس على المحور الأكبر يكون أحد نصفي القطر البؤري $A + c$ والآخر $A - c$، ومجموعهما $2A$. وعند رأس مرافق يتساوى نصفا القطر بحكم التناظر، وكلٌّ منهما من بؤرة على مسافة $\sqrt{B^2 + c^2}$؛ ومساواته بـ$A$ تُعيد $A^2 = B^2 + c^2$، التي تُعاد صياغتها إلى $c = \sqrt{A^2 - B^2}$. هذه العلاقة الواحدة تربط بين البؤرتين والمحاور والاختلاف المركزي.