تاريخ الإنشاء: 13 يونيو 2026 في 06:01 م

توزيع بواسون

المدخلات

معدل الحدوث3
عدد الأحداث2

الرسم البياني

دالة الكتلة الاحتمالية 0

أُنشئ باستخدام OneCalc · https://onecalc.app/ar/math/poisson-distribution

الرياضيات

توزيع بواسون

يحسب P(X=k) و P(X≤k) و P(X≥k) لتوزيع بواسون بمعدل λ وعدد الأحداث k، مع عرض خطوات الاشتقاق ومخطط التوزيع.

المدخلات

المعاملات

النتائج

أدخل قيمة لعرض النتائج.

تفاصيل

الاحتمالات

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \\ &= \dfrac{e^{-3} \cdot 3^{ 2 }}{ 2!} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}

التوزيع

دالة الكتلة الاحتمالية 0

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

توزيع بواسون توزيع احتمالي منفصل يصف عدد الأحداث المستقلة التي تقع في فترة زمنية أو مساحة محددة ثابتة، عندما تحدث هذه الأحداث بمعدل متوسط ثابت. وهو من أكثر النماذج الاحتمالية استخداماً في الإحصاء، وتشمل تطبيقاته نظرية الانتظار، وهندسة الموثوقية، والأوبئة، والرياضيات المالية.

دالة الكتلة الاحتمالية

بمعدل λ > 0 وعدد صحيح غير سالب k، تُعرَّف دالة الكتلة الاحتمالية بالصيغة:

P(X=k)=e−λ λkk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

حيث e هي قاعدة اللوغاريتم الطبيعي (≈ 2.71828) و k! هي مضروب k.

تُحسب دالة التوزيع التراكمي بجمع دالة الكتلة الاحتمالية من 0 إلى k:

P(X≤k)=∑i=0ke−λ λii!P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^i}{i!}

وتُحسب احتمالية «k حدث على الأقل» عبر:

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

المتوسط والتباين

من أبرز خصائص توزيع بواسون أن المتوسط والتباين يتساويان كلاهما مع λ:

μ=λ,σ2=λ\mu = \lambda, \qquad \sigma^2 = \lambda

ومن ثَمَّ يكون الانحراف المعياري √λ، ومعامل الاختلاف 1/√λ الذي يتناقص كلما زاد λ.

مثال محلول

يستقبل موقع إلكتروني للطلبات في المتوسط 7 طلبات في الدقيقة (λ = 7). ما احتمال استقبال 5 طلبات بالضبط في دقيقة معينة؟

P(X=5)=e−7⋅755!=e−7⋅16807120≈0.1277P(X = 5) = \frac{e^{-7} \cdot 7^5}{5!} = \frac{e^{-7} \cdot 16807}{120} \approx 0.1277

الاحتمال نحو 12.8 %. أما احتمال استقبال 5 طلبات على الأكثر:

P(X≤5)=∑i=05e−7⋅7ii!≈0.3007P(X \leq 5) = \sum_{i=0}^{5} \frac{e^{-7} \cdot 7^i}{i!} \approx 0.3007

واحتمال استقبال 5 طلبات على الأقل:

P(X≥5)=1−P(X≤4)≈0.8270P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4) \approx 0.8270

الاشتقاق من التوزيع ذي الحدين

يُشتق توزيع بواسون من التوزيع ذي الحدين Binomial(n, p) عندما n → ∞ و p → 0 مع بقاء الحاصل np = λ ثابتاً:

(nk)pk(1−p)n−k  →n→∞,  np=λ  λkk!e−λ\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow{n\to\infty,\;np=\lambda}\; \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

الخطوات الرئيسية في هذا الاشتقاق:

  • يتقارب المعامل ذو الحدين n!/(k!(n−k)!) نحو n^k/k!.
  • يُسهم p^k = (λ/n)^k بالقيمة λ^k/n^k التي تُلغي n^k.
  • يتقارب (1 − λ/n)^n نحو e^−λ عندما n → ∞.

لماذا يتساوى المتوسط والتباين عند λ

في التوزيع ذي الحدين، المتوسط = np = λ والتباين = np(1−p). عندما يتجه p نحو الصفر، يتجه (1−p) نحو 1، فيتقارب التباين بدوره نحو np = λ. هذه المساواة —المتوسط = التباين = λ— هي السمة المميزة لتوزيع بواسون. وإذا أظهرت البيانات المرصودة تبايناً أكبر بكثير من المتوسط (فرط التشتت)، فقد يكون التوزيع السالب ذو الحدين أو نموذج «توسيع الأصفار» أكثر ملاءمة.

الحساب العددي

لقيم كبيرة من k، قد يؤدي حساب λ^k و k! منفصلَين إلى فيضان عددي. تحل الصيغة اللوغاريتمية لدالة الكتلة الاحتمالية هذه المشكلة:

log⁡P(X=k)=−λ+klog⁡λ−log⁡(k!)\log P(X = k) = -\lambda + k \log \lambda - \log(k!)

يُجمع حد log k! تكرارياً على شكل log 2 + log 3 + … + log k، ثم يُحسب الأس في النهاية. تحافظ هذه الطريقة على الدقة العددية لقيم k تصل إلى مئات الوحدات.

العلاقة بالتوزيعات الأخرى

  • التوزيع ذو الحدين: يصح تقريب بواسون عند n ≥ 20 و p ≤ 0.05 (أو n ≥ 100 و np ≤ 10).
  • التوزيع الأسي: وقت الانتظار بين حدثين متتاليين في عملية بواسون يتبع التوزيع الأسي بمعامل λ؛ ومتوسط وقت الانتظار هو 1/λ.
  • التوزيع الطبيعي: لقيم λ كبيرة (عادةً λ ≥ 30)، تتبع الكمية (X − λ)/√λ تقريباً التوزيع الطبيعي المعياري.
  • التوزيع الهندسي: يُنمذج عدد التجارب حتى أول نجاح في تجارب برنولي المستقلة؛ ونظيره المستمر هو التوزيع الأسي المرتبط بعملية بواسون عبر أوقات الانتظار بين الأحداث.

التطبيقات

  • الاتصالات والشبكات: نمذجة معدلات وصول الحزم في أجهزة التوجيه؛ تفترض نماذج الانتظار من نوع M/M/1 وصولاً وفق توزيع بواسون.
  • هندسة الموثوقية: تقدير عدد أعطال المكونات في فترة زمنية محددة بمعدل عطل ثابت.
  • الأوبئة: نمذجة حالات الإصابة الجديدة بمرض ما أسبوعياً في منطقة معينة، بافتراض معدل إصابة ثابت.
  • التأمين وإدارة المخاطر: تقدير تكرار المطالبات وحساب الأقساط للأحداث النادرة.
  • الفيزياء: عد الفوتونات في كاشف ضوئي أو الزخات الإشعاعية، إذ يتفكك كل نواة باستقلالية باحتمال ثابت لكل وحدة زمنية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

متى يُستخدم توزيع بواسون؟

يُستخدم توزيع بواسون عند حساب عدد الأحداث المستقلة في فترة زمنية أو مساحة ثابتة، بشرط أن: تكون الأحداث مستقلة عن بعضها، ويكون المعدل المتوسط λ ثابتاً، ولا يمكن أن تقع حادثتان في اللحظة ذاتها. تشمل التطبيقات الشائعة: عدد المكالمات الواردة في مركز خدمة العملاء كل ساعة، وعدد الانبعاثات الإشعاعية في الثانية، وعدد الأخطاء المطبعية في الصفحة.

ماذا يمثل λ (لامدا)؟

λ هو متوسط عدد الأحداث المتوقعة في الفترة المختارة. فإذا استقبل خادم 5 طلبات في المتوسط كل دقيقة، فإن λ = 5. يمكن اختيار أي وحدة للفترة — ثوانٍ أو أمتار أو صفحات — شريطة ضبط λ تناسبياً. لنصف دقيقة يصبح λ = 2.5، ولدقيقتين يصبح λ = 10.

ما العلاقة بين توزيع بواسون والتوزيع ذي الحدين؟

توزيع بواسون هو الحالة الحدية للتوزيع ذي الحدين عندما يتجه عدد التجارب n إلى اللانهاية وتتجه احتمالية النجاح p إلى الصفر مع بقاء حاصل ضربهما np = λ ثابتاً. عملياً، تكون تقريبات بواسون دقيقة عندما n ≥ 20 وp ≤ 0.05 (أو n ≥ 100 وnp ≤ 10). وتُغني الصيغة المبسطة e^−λ λ^k / k! عن صيغة التوزيع ذي الحدين الأثقل حساباً.

لماذا يتساوى المتوسط والتباين ويكونان كلاهما λ؟

هذه المساواة خاصية جوهرية في توزيع بواسون، مستمدة من اشتقاقه كحالة حدية للتوزيع ذي الحدين: المتوسط = np = λ، والتباين = np(1−p) ← np = λ عندما p → 0. ويترتب على ذلك أن الانحراف المعياري = √λ ومعامل التباين = 1/√λ. وإن كان التباين في البيانات المرصودة أكبر من المتوسط بكثير (فرط التشتت)، فقد يناسبها نموذج التوزيع السالب ذي الحدين.

التالي الموصى به

حاسبة الاحتمال الثنائي

يحسب الاحتمال الدقيق P(X=k) والتراكمي P(X≤k) و P(X≥k) للتوزيع الثنائي، بإدخال عدد التجارب وعدد النجاحات واحتمال النجاح في كل تجربة.

 اعرف المزيد
حاسبة التوزيع الهندسي

احسب احتمال حدوث النجاح الأول في المحاولة k، والاحتمال التراكمي P(X≤k)، والوسط الحسابي والتباين للتوزيع الهندسي.

 اعرف المزيد
حاسبة التوزيع الطبيعي

احسب درجة Z والاحتمال التراكمي P(X < x) و P(X > x) والمئين لأي توزيع طبيعي بإدخال القيمة والمتوسط والانحراف المعياري.

 اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗