آخر تحديث: 2026-06-04

تعريف الأسّ

الأسّ هو طريقة للتعبير عن الضرب التكراري. في العبارة $b^n$، يُعدّ $b$ الأساس و$n$ الأسّ (ويُسمى أيضًا القوة أو الدرجة)، وتعني هذه العبارة ضرب $b$ في نفسه $n$ مرة:

فمثلًا، $2^{10} = 1024$ لأن 2 يُضرب في نفسه عشر مرات.

قوانين الأسس الأساسية

تحكم ستة قوانين سلوك الأسس تحت العمليات الحسابية المختلفة، وكل واحد منها يُستنتج مباشرة من تعريف الضرب التكراري.

قانون الضرب — تُجمع الأسس عند ضرب قوى بنفس الأساس: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$

قانون القسمة — تُطرح الأسس عند القسمة: $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \quad (b \neq 0)$

الأس المرفوع إلى أس — تُضرب الأسس عند رفع قوة إلى قوة: $(b^m)^n = b^{mn}$

أسّ الحاصل — يتوزع الأسّ على عاملَي الضرب: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$

الأس الصفري — أي أساس غير صفري مرفوع إلى الأس صفر يساوي 1: $b^0 = 1 \quad (b \neq 0)$

الأس السالب — يدل الأس السالب على المقلوب الضربي: $b^{-n} = \frac{1}{b^n} \quad (b \neq 0)$

الأسس السالبة

الأسّ السالب يعني "خذ المقلوب". انطلاقًا من قانون القسمة: $b^0 / b^n = 1 / b^n = b^{-n}$. فمثلًا:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$

تظهر الأسس السالبة في الترميز العلمي للأعداد الصغيرة جدًا ($10^{-9}$ تساوي نانومترًا واحدًا)، وفي تحليل الأبعاد (م ث$^{-1}$ للسرعة).

الأسس الكسرية والجذور

الأسّ الكسري يمثّل جذرًا رياضيًا. القانون العام هو:

$b^{m/n} = \sqrt[n]{b^m} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

الحالات الشائعة:

حتى تكون النتيجة عددًا حقيقيًا، يشترط أن يكون الأساس غير سالب (أو أن يبسَّط الأسّ الكسري إلى كسر مقامه فردي في حالة الأسس السالبة). وتقع نتائج الأعداد المركبة خارج نطاق الحساب الحقيقي المعتاد.

المقلوب الضربي

المقلوب لـ $b^n$ هو $b^{-n} = 1/b^n$، ويحقق العلاقة:

$b^n \cdot b^{-n} = b^0 = 1$

المقلوب غير معرّف حين $b^n=0$، أي حين $b_{}=0$ و $n_{}>{0}$.

0⁰ — الاصطلاح المتبع

حين $b_{}=0$ و $n_{}=0$، تُعدّ العبارة $0^0$ صورة غير محددة في التحليل الرياضي (إذ $0^x \to 0$ من جهة، و$x^0 \to 1$ من جهة أخرى). أما في الرياضيات المتقطعة ونظرية التوافيق وعلوم الحاسوب، فتُعرَّف $0^0$ بصورة موحّدة بالقيمة 1. يحافظ هذا الاختيار على اتساق المتطابقات التوافيقية كنظرية ذات الحدين ومتسلسلة القوى عند القيم الحدية. تتبع هذه الحاسبة الاصطلاح $0^0 = 1$.

مثال محلول

المدخلات: الأساس $b_{}=3$، الأسّ $n_{}=4$

$b^n = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

المقلوب:

$b^{-n} = 3^{-4} = \frac{1}{81} \approx 0.012346$

التحقق باستخدام قانون الضرب:

$3^4 \cdot 3^{-4} = 3^{4 + (-4)} = 3^0 = 1 \checkmark$

تطبيقات