آخر تحديث: 2026-05-13

التعريف والصيغة

تنص مبرهنة فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

$a^2 + b^2 = c^2$

تُعدّ من أقدم النتائج الرياضية المعروفة. فقد سجّلت ألواح طينية بابلية ترجع إلى نحو 1800 قبل الميلاد أثلاثاً فيثاغورية — مجموعات أعداد صحيحة تحقق هذه المعادلة — قبل ولادة فيثاغورس بقرون. ما أضافه فيثاغورس وتلاميذه كان برهاناً عاماً: أن العلاقة تنطبق على كل مثلث قائم الزاوية، لا على أمثلة عددية بعينها.

كيفية استخدام هذه الحاسبة

أدخِل أيَّ ضلعين من أضلاع مثلث قائم الزاوية وستحسب الحاسبة الضلع الثالث. جميع الحقول قابلة للتعديل: يمكنك تثبيت الوتر وأحد الضلعين لإيجاد الثالث، أو إدخال الضلعين القائمين للحصول على الوتر.

• a وb معلومان → إيجاد c (الوتر): $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• b وc معلومان → إيجاد a: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• a وc معلومان → إيجاد b: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

جميع وحدات القياس مدعومة، ويمكنك الجمع بحرية بين الوحدات المترية والإمبريالية.

أصل المبرهنة والبرهان

أكثر البراهين بديهيةً يقوم على رسم ثلاثة مربعات على أضلاع المثلث القائم. مساحة المربع المقام على الوتر تساوي مجموع مساحتَي المربعين المقامَين على الضلعين الآخرين — ويمكن التحقق من ذلك بإعادة ترتيب القطع لتغطية المربع الأكبر تماماً. لا يحتاج هذا «البرهان بالتجزئة» إلى جبر، بل إلى حساب المساحات فحسب، وهذا ما جعله يُكتشف باستقلالية في ثقافات عديدة عبر التاريخ.

أما الصياغة الجبرية فتنبثق من صيغة المسافة في الهندسة التحليلية: إذا وُضعت الزاوية القائمة عند نقطة الأصل ووُجِّه الضلعان على طول المحورين، فإن الوتر — القطعة الممتدة من $(a, 0)$ إلى $(0, b)$ — يساوي طوله $\sqrt{a^2 + b^2}$ بحسب تعريف المسافة الإقليدية.

الأثلاث الفيثاغورية

الأثلاث الفيثاغورية هي الحلول الصحيحة لمعادلة $a^2 + b^2 = c^2$. إليك بعض أشهرها:

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

أي مضاعف صحيح موجب لثلاث فيثاغوري هو ثلاث فيثاغوري بدوره. فـ(6، 8، 10) و(9، 12، 15) و(15، 20، 25) جميعها مشتقة من عائلة (3، 4، 5).

الصيغة العامة لتوليد جميع الأثلاث الأولية (التي لا قاسم مشترك بين عناصرها) تستخدم عددين صحيحين $m > n > 0$:

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

عند $m = 2, n = 1$: $a = 3, b = 4, c = 5$ — الثلاث الكلاسيكي.

تطبيقات عملية

البناء والنجارة. قاعدة 3-4-5 هي أكثر الأدوات موثوقية للتحقق من الزوايا القائمة دون استخدام منقلة. قِس 3 وحدات على طول جدار، و4 وحدات على طول الجدار المجاور، فإن كان طول القطر بينهما يساوي 5 وحدات تماماً، فالزاوية قائمة.

الملاحة. المسافة المستقيمة بين نقطتين على خريطة مستوية هي وتر مثلث قائم تمثّل ساقاه الفجوة في الاتجاه الشمالي-الجنوبي والشرقي-الغربي. تستخدم أجهزة استقبال GPS وبرامج الخرائط هذه العملية باستمرار.

الفيزياء والهندسة. تُحسب مقادير المتجهات ثنائية الأبعاد باستخدام مبرهنة فيثاغورس. سرعة جسم بمركبة أفقية $v_x$ ورأسية $v_y$ تساوي $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

الرسوميات الحاسوبية. حساب المسافة بين البكسلات، والكشف عن التصادمات، وعمليات التصيير — كلها تعتمد على هذه المبرهنة. والامتداد ثلاثي الأبعاد $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ هو تعميم مباشر لها.

المبرهنة تنطبق على المثلثات القائمة فقط

مبرهنة فيثاغورس تصحّ فقط حين تكون إحدى الزوايا مساوية تماماً لـ90°. أما غيرها من المثلثات فيُستخدم معها قانون جيب التمام:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

حيث $C$ هي الزاوية المقابلة للضلع $c$. عند $C = 90°$، يكون $\cos(90°) = 0$ فيختزل القانون إلى مبرهنة فيثاغورس تماماً — مما يؤكد أنها حالة خاصة من نتيجة أعم.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي الأثلاث الفيثاغورية؟

الأثلاث الفيثاغورية هي مجموعات من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة تحقق المعادلة a² + b² = c². أشهرها (3، 4، 5): إذ إن 9 + 16 = 25. ومن الأثلاث الشائعة أيضاً (5، 12، 13) و(8، 15، 17) و(7، 24، 25). وكلّ مضاعف صحيح لثلاث فيثاغوري يُعدّ ثلاثاً فيثاغورياً هو الآخر — مثل (6، 8، 10).

كيف تُطبَّق مبرهنة فيثاغورس في الحياة اليومية؟

تُستخدم المبرهنة في البناء والتشييد (للتحقق من استقامة الزوايا القائمة)، وفي الملاحة (لحساب المسافات المستقيمة)، وفي الفيزياء (لإيجاد مقادير المتجهات)، وفي الرسوميات الحاسوبية (لحساب المسافات ثنائية وثلاثية الأبعاد). يستعمل النجارون قاعدة 3-4-5 لرسم الزوايا القائمة.

هل تنطبق مبرهنة فيثاغورس على جميع المثلثات؟

لا — فهي تُطبَّق على المثلثات القائمة الزاوية فحسب (المثلثات التي تحتوي على زاوية 90°). أما المثلثات الأخرى فيُستخدم معها قانون جيب التمام: c² = a² + b² − 2ab cos(C)، حيث C هي الزاوية المقابلة للضلع c.