آخر تحديث: 2026-07-13

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تحل هذه الحاسبة جملة من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة مجاهيل x وy وz بطريقة حذف غاوس:

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

تكتب المعاملات والثوابت الاثني عشر كمصفوفة موسّعة، وتختزل تلك المصفوفة إلى الصورة الدرجية بعمليات الصفوف، ثم تعوّض خلفيًا لتُعيد الحل (x، y، z). وعندما تكون مصفوفة المعاملات شاذة، تُبلغ بأن الجملة لا حل وحيد لها.

المصفوفة الموسّعة

بترتيب المعاملات والأطراف اليمنى معًا نحصل على المصفوفة الموسّعة، مع شريط عمودي يفصل كتلة المعاملات عن الثوابت:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right]$$

كل خطوة في حذف غاوس هي عملية صف على هذه المصفوفة: تبديل صفين، أو ضرب صف في عدد، أو إضافة مضاعف صف إلى آخر. ولا تغيّر أيٌّ منها مجموعة الحلول.

الحذف الأمامي

هدف الحذف الأمامي توليد أصفار تحت القطر، عمودًا تلو الآخر، حتى تصبح المصفوفة مثلثية عليا (صورة درجية).

الخطوة 1 — إلغاء عمود x. باستخدام المحور الأول a₁، نطرح مضاعفًا للصف 1 من الصفين 2 و3:

$$m_{21} = \frac{a_2}{a_1}, \quad R_2 \to R_2 - m_{21} R_1, \qquad m_{31} = \frac{a_3}{a_1}, \quad R_3 \to R_3 - m_{31} R_1$$

الخطوة 2 — إلغاء عمود y. باستخدام المحور الثاني الجديد b₂′، نطرح مضاعفًا للصف 2 من الصف 3:

$$m_{32} = \frac{b_3'}{b_2'}, \quad R_3 \to R_3 - m_{32} R_2$$

المصفوفة الآن مثلثية عليا:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ 0 & b_2' & c_2' & d_2' \\ 0 & 0 & c_3'' & d_3'' \end{array}\right]$$

التعويض الخلفي

لم يبقَ في الصف الأخير سوى z، فيُحل مباشرة وتنتقل القيم إلى الأعلى:

$$z = \frac{d_3''}{c_3''}, \quad y = \frac{d_2' - c_2' z}{b_2'}, \quad x = \frac{d_1 - b_1 y - c_1 z}{a_1}$$

ولأن المصفوفة مثلثية، فإن محدِّدها هو ببساطة جداء المحاور على القطر، $D = a_1 \cdot b_2' \cdot c_3''$. وجداء غير صفري يؤكد وجود حل وحيد.

مثال محلول

لنحل الجملة الافتراضية:

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

الخطوة 1 — المضاريب والمسح الأول. عند المحور a₁ = 2:

$$m_{21} = \frac{-3}{2} = -\tfrac{3}{2}, \qquad m_{31} = \frac{-2}{2} = -1$$

بطرح هذه المضاعفات من الصف 1 نحصل على

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]$$

الخطوة 2 — إلغاء عمود y. عند المحور b₂′ = 1/2:

$$m_{32} = \frac{2}{1/2} = 4, \qquad R_3 \to R_3 - 4 R_2$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

الخطوة 3 — التعويض الخلفي:

$$z = \frac{1}{-1} = -1, \quad y = \frac{1 - \tfrac{1}{2}(-1)}{1/2} = 3, \quad x = \frac{8 - (1)(3) - (-1)(-1)}{2} = 2$$

المحدِّد هو جداء المحاور، $2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot (-1) = -1 \ne 0$، ما يؤكد الحل الوحيد (x، y، z) = (2، 3، −1).

التحقق:

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

عندما يتوقف الحذف

هناك حالتان تقطعان المسح النظيف أعلاه:

• محور صفري وجملة غير شاذة. إذا كان أحد المعاملات على القطر صفرًا — مثلًا حين لا يحتوي أول معادلة على حدّ في x — فسيقسم المضروب على صفر. والعلاج هو المحورية الجزئية: تبديل الصف المعني بصف تحته له عنصر غير صفري في ذلك العمود، ثم المتابعة. لا يتغير الحل؛ يتغير ترتيب الصفوف فقط. كما تبدّل البرمجيات العددية نحو أكبر محور متاح للحد من خطأ التقريب.
• محور صفري لا يمكن إصلاحه. إذا أنتج الحذف صفًّا من الأصفار عبر أعمدة المعاملات، فالمحدِّد صفر ومصفوفة المعاملات شاذة. عندئذٍ إمّا أن يكون للجملة حلول لا نهائية (الثوابت متوافقة مع التبعية) أو لا حل (تناقضها). ولا يوجد (x، y، z) وحيد.

حذف غاوس مقابل قاعدة كرامر

يعطي الأسلوبان الجواب نفسه لجملة غير شاذة. تعبّر قاعدة كرامر عن كل مجهول كنسبة محدِّدات، وهي أنيقة في حالة 3×3 لكنها مكلفة كلما كبر الحجم. أمّا حذف غاوس فيحوّل الجملة كاملة بعمليات الصفوف ويتوسّع أفضل بكثير: فهو العمود الفقري للحلول الخطية في المكتبات العددية. والاختزال حتى الصورة الدرجية المختزلة (RREF)، حيث كل محور يساوي 1 وتُلغى العناصر فوقه أيضًا، يتيح قراءة الحل مباشرة دون خطوة تعويض منفصلة.

التطبيقات

تظهر الجمل ذات المتغيرات الثلاثة في الجبر والإعداد للتفاضل والتكامل، وفي تحليل الدارات بقوانين كيرشوف عبر ثلاث حلقات، وفي موازنة التفاعلات الكيميائية، وفي كل موضع يجب أن تتحقق فيه ثلاثة شروط خطية في آنٍ واحد. حذف غاوس هو الطريقة اليدوية القياسية لهذه الجمل والمنطلق المفاهيمي لتحليل LU ولمعظم الجبر الخطي الحاسوبي.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي طريقة حذف غاوس؟

حذف غاوس طريقة منهجية لحل جملة خطية عبر دمج المعادلات. تُكتب الجملة كمصفوفة موسّعة، ثم تُطرح مضاعفات صف من الصفوف الأخرى لتوليد أصفار تحت القطر حتى الوصول إلى الصورة المثلثية العليا (الدرجية). عندئذٍ لا يبقى في الصف الأخير سوى مجهول واحد، ويستعيد التعويض الخلفي البقية من الأسفل إلى الأعلى.

بمَ يختلف الحذف عن قاعدة كرامر؟

يصل الأسلوبان إلى الحل نفسه. تكتب قاعدة كرامر كل مجهول كنسبة محدِّدات، وهي مضغوطة في حالة 3×3 لكنها تصبح مكلفة بسرعة. أمّا حذف غاوس فيحوّل الجملة كاملة بعمليات الصفوف؛ وهو أفضل بكثير في التوسّع إلى الجمل الكبيرة، وهو الطريقة وراء معظم برمجيات الجبر الخطي العددي. تعرض هذه الأداة خطوات الحذف، بينما يُذكر المحدِّد كجداء للمحاور.

ما الفرق بين الصورة الدرجية والصورة الدرجية المختزلة؟

الصورة الدرجية (REF) لها أصفار تحت كل عنصر رئيسي، بهيئة مثلثية عليا يُكمَل حلها بالتعويض الخلفي. أمّا الصورة الدرجية المختزلة (RREF) فتذهب أبعد: كل عنصر رئيسي يساوي 1 وتُلغى أيضًا العناصر فوقه، فيُقرأ الحل مباشرة. تختزل هذه الحاسبة إلى الصورة الدرجية ثم تعوّض خلفيًا، وهو المسار الكلاسيكي لحذف غاوس.

لماذا تظهر جملتي «لا يوجد حل وحيد»؟

تظهر هذه الرسالة عندما يكون المحدِّد صفرًا، ما يعني أن إحدى المعادلات تركيب خطي للأخريات. عندئذٍ يُنتج الحذف صفًّا من الأصفار في أعمدة المعاملات. تبعًا للثوابت، تكون للجملة حلول لا نهائية أو لا حل. لا يوجد حل وحيد إلّا عندما تكون المحاور الثلاثة غير صفرية.

لماذا تُبدَّل الصفوف أثناء الحذف؟

إذا كان المحور الذي ينبغي القسمة عليه صفرًا، ينهار ترتيب الحذف الطبيعي حتى لجملة لها حل وحيد. تبديل الصف المعني بصف تحته (المحورية الجزئية) يضع عنصرًا غير صفري على القطر ليتابع الحذف. كما تبدّل البرمجيات العددية الصفوف لاختيار أكبر محور متاح، ما يبقي أخطاء التقريب صغيرة.