آخر تحديث: 2026-05-19

قانون جيب التمام

قانون جيب التمام يربط الأضلاع الثلاثة لأي مثلث بجيب تمام إحدى زواياه. لمثلث بأضلاع a وb وc وزاوية C مقابلة للضلع c، تكون الصيغة:

c² = a² + b² − 2ab cos C

تعالج هذه المعادلة الواحدة نوعين من مسائل المثلثات الشائعة:

• SAS (ضلع-زاوية-ضلع): عند معرفة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، يُعطي القانون الضلع الثالث.

• SSS (ضلع-ضلع-ضلع): عند معرفة الأضلاع الثلاثة، تُعيد صياغة المعادلة ثلاث مرات إلى الحصول على الزوايا الثلاث:

  A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))
  B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))
  C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

كيف تستخدم هذه الحاسبة

وضع SAS — اختر «SAS — إيجاد الضلع c»، أدخل الضلعين a وb والزاوية C بينهما (بالدرجات). تُعيد الحاسبة الضلع c.

وضع SSS — اختر «SSS — إيجاد الزوايا»، أدخل الأضلاع الثلاثة a وb وc. تُعيد الحاسبة الزوايا الثلاث A وB وC بالدرجات.

مثال محلول: SAS

يرصد مساحٌ جانبين من قطعة أرض مثلثة: 83 م و112 م، والزاوية بينهما 54°. ما طول الجانب الثالث؟

• a = 83، b = 112، C = 54°
• c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54°
• c² = 6 889 + 12 544 − 18 592 × 0,5878
• c² ≈ 8 502
• c ≈ 92,2 م

مثال محلول: SSS

حديقة مثلثة الشكل أضلاعها 5 م و7 م و6 م. ما الزوايا عند كل رأس؟

• A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44,4°
• B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78,5°
• C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57,1°

تحقق: 44,4° + 78,5° + 57,1° = 180°. ✓

لماذا تصح الصيغة: الصلة بنظرية فيثاغورس

حاسبة مبرهنة فيثاغورس (c² = a² + b²) حالة خاصة من قانون جيب التمام. عندما C = 90°، يكون cos 90° = 0 ويختفي حد 2ab cos C لتصبح الصيغة c² = a² + b².

بالنسبة لسائر الزوايا:

• C < 90° (زاوية حادة): cos C > 0، الحد المطروح يُقصِّر c.
• C > 90° (زاوية منفرجة): cos C < 0، يتحول الحد إلى جمع وتطول c.

تنبع هذه الحدسية الهندسية مباشرة من تعريف الجداء النقطي الذي يقيس مقدار إسقاط متجه على آخر.

قانون جيب التمام مقابل قانون الجيب

المعطيات المتاحة	الصيغة المستخدمة
ضلعان + الزاوية المحصورة (SAS)	قانون جيب التمام
الأضلاع الثلاثة (SSS)	قانون جيب التمام
زاويتان + ضلع (AAS / ASA)	قانون الجيب
ضلعان + زاوية غير محصورة (SSA)	قانون الجيب (انتبه للحالة المبهمة)

قانون الجيب أبسط جبريًا حين تتوفر جهة ضلع-زاوية مقابلة. قانون جيب التمام خالٍ من الحالات المبهمة، ويُفضَّل لـSAS وSSS.

متباينة المثلث

حتى تُشكِّل ثلاثة أطوال مثلثًا، يجب أن يكون كل ضلع أقل من مجموع الضلعين الآخرين. إذا انتُهك هذا الشرط (مثلًا أضلاع 1 و2 و10)، وقع مقدار الآركوس خارج النطاق [−1, 1] وهو غير معرَّف، فتظهر رسالة خطأ.

للتحقق السريع: رتّب الأضلاع تصاعديًا وتأكد من أن مجموع الأضلاع الأقصر يتجاوز الأطول.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما العلاقة بين قانون جيب التمام ونظرية فيثاغورس؟

قانون جيب التمام c² = a² + b² − 2ab cos C هو تعميم لنظرية فيثاغورس على المثلثات العامة. عندما C = 90° يكون cos 90° = 0 فتُختزل الصيغة إلى c² = a² + b². في المثلثات الحادة (C < 90°) يكون حد 2ab cos C موجبًا فيكون c أقصر، وفي المثلثات المنفرجة (C > 90°) يكون cos C سالبًا فيكون c أطول.

متى أستخدم قانون جيب التمام بدلًا من قانون الجيب؟

استخدم قانون جيب التمام في حالتَي SAS (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما) أو SSS (الأضلاع الثلاثة). قانون الجيب أبسط حين تتوفر جهة ضلع-زاوية مقابلة، لكنه في حالة SSA قد يُنتج حلَّين (الحالة المبهمة). قانون جيب التمام يعطي دومًا حلًّا وحيدًا لا لبس فيه.

ما الذي يمكنني حسابه في وضع SAS؟

بمعرفة ضلعَي a وb والزاوية C المحصورة بينهما يمكن إيجاد الضلع c = √(a² + b² − 2ab cos C). مثال: a = 5 وb = 7 وC = 60° فيكون c = √39 ≈ 6.245. بعد معرفة الأضلاع الثلاثة يمكن الانتقال إلى وضع SSS لإيجاد الزوايا المتبقية.

ماذا يحدث إذا كانت الأضلاع الثلاثة لا تُشكِّل مثلثًا صحيحًا؟

تشترط متباينة المثلث أن يكون كل ضلع أقل من مجموع الضلعين الآخرين. إذا لم يتحقق هذا الشرط (مثل الأضلاع 1 و2 و10) يقع مقدار الآركوس خارج النطاق [−1, 1] وهو غير معرَّف، فتظهر رسالة خطأ. للتحقق السريع: رتّب الأضلاع تصاعديًا وتأكد أن مجموع الضلعين الأقصر يتجاوز الأطول.