آخر تحديث: 2026-06-04

تعريف الوسط الهندسي

الوسط الهندسي لـ n من الأعداد الموجبة هو الجذر الـ n لحاصل ضربها. للقيم x₁, x₂, …, xₙ يُحسب الوسط الهندسي G بالصيغة:

$G = \left(x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n\right)^{1/n}$

صيغة مكافئة تعتمد على اللوغاريتمات وتتجنب الفيضان العددي:

$G = \exp\!\left(\frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n}\right)$

كلتا الصيغتين تُنتج النتيجة ذاتها، غير أن الصيغة اللوغاريتمية تظل في النطاق الآمن للحساب العائم حتى حين يفوق حاصل الضرب المباشر الحد الأقصى للتمثيل الرقمي.

متى يُطبَّق الوسط الهندسي؟

يُعد الوسط الهندسي المتوسط الملائم حين تترابط الكميات بالضرب لا بالجمع. أبرز تطبيقاته:

معدلات العائد وعوامل النمو. إذا نما استثمار بعامل 1.20 في السنة الأولى ثم تراجع إلى 0.90 في السنة الثانية، فإن الوسط الحسابي للعاملين (1.05) يوحي بعائد سنوي ثابت قدره 5٪، في حين أن الناتج الفعلي لعامين هو 1.20 × 0.90 = 1.08، أي ما يعادل معدلاً سنوياً ثابتاً يساوي ‎√1.08 ≈ 1.039‎، أي نحو 3.9٪. الوسط الهندسي للعاملين يُعطي هذا المعدل تحديداً، بينما الوسط الحسابي مُضلِّل هنا.

مؤشرات الأسعار والنسب. عند حساب متوسط نسب أو مؤشرات من فئات ذات وحدات قياس مختلفة، يُوزن الوسط الهندسي كل قيمة وفق البنية الضربية ذاتها، دون أن تُهيمن القيم ذات الحجم المطلق الكبير على النتيجة.

البيانات ذات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي. البيانات التي تمتد عبر رتب من الحجم — كأعداد البكتيريا، وشدة الزلازل، وتوزيعات الدخل — يُلخَّص مركزها بدقة أكبر بالوسط الهندسي لأنه يقابل وسيط التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي الكامن.

قاعدة عامة: يُطبَّق الوسط الحسابي على البيانات الجمعية (درجات الحرارة، والمسافات، والدرجات)، ويُطبَّق الوسط الهندسي على البيانات الضربية (عوامل النمو، والنسب، ومؤشرات الأسعار).

مثال محلول

ثلاثة معدلات عائد سنوية لصندوق استثماري: ‏12٪، وسالب 8٪، و24٪. تُحوَّل إلى عوامل نمو: 1.12 و0.92 و1.24.

• حاصل الضرب: 1.12 × 0.92 × 1.24 ≈ 1.2782
• الوسط الهندسي: 1.2782^(1/3) ≈ 1.0854
• معدل النمو الثابت المكافئ: 8.54٪ سنوياً
• الوسط الحسابي لعوامل النمو: (1.12 + 0.92 + 1.24) / 3 ≈ 1.0933، ما يوحي بـ 9.33٪

يبالغ الوسط الحسابي في تقدير المعدل المستدام لأنه لا يأخذ في الحسبان التأثير التراكمي للتذبذب بين المكاسب والخسائر. استثمار بقيمة 10,000 وحدة بالمعدل الهندسي 8.54٪ لثلاث سنوات يصير 10,000 × 1.2782 ≈ 12,782 وحدة، وهو ما يطابق النتيجة الفعلية تماماً.

متراجحة الوسطين الحسابي والهندسي

لأي مجموعة من الأعداد الموجبة، يكون الوسط الحسابي دائماً أكبر من الوسط الهندسي أو مساوياً له:

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \;\geq\; \left(x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n\right)^{1/n}$

تتحقق المساواة فقط حين تكون جميع القيم متساوية. يتسع الفارق بين الوسطين كلما اتسع نطاق البيانات، مما يجعله مقياساً ضمنياً للتشتت الضربي.

لهذه المتراجحة تفسير هندسي: من بين جميع المستطيلات ذات المحيط الثابت، يمتلك المربع (ذو الأضلاع المتساوية) أكبر مساحة. المساحة هي الوسط الهندسي للضلعين، وتبلغ أقصى قيمة حين يتساوى الضلعان فيتطابق الوسطان الهندسي والحسابي. كذلك تظهر المتراجحة في مسائل التحسين، والبراهين التحليلية، والتمويل الكمي.

الحساب اللوغاريتمي وتفادي الفيضان

حساب حاصل ضرب قيم كثيرة مباشرةً قد يُفضي إلى فيضان عائم حتى لمجموعات بيانات متوسطة الحجم. أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكل قيمة، ثم حساب متوسط اللوغاريتمات، ثم الأس العكسي للمتوسط، يتجاوز هذه المشكلة:

$G = \exp\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln x_i\right)$

إذ يُحول اللوغاريتم عملية الضرب إلى جمع، فتظل القيم الوسيطة في النطاق الآمن. تعتمد هذه الحاسبة هذه الصيغة داخلياً.

الوسط الهندسي وسائر المتوسطات

الوسط الهندسي أحد المتوسطات الفيثاغورية الثلاثة:

• الوسط الحسابي: يُقلل مجموع مربعات الانحرافات — حساس للقيم الشاذة.
• الوسط الهندسي: يُقلل مجموع مربعات الانحرافات في الفضاء اللوغاريتمي — ملائم للبيانات الضربية.
• الوسط التوافقي: مقلوب متوسط المقلوبات — مناسب للمعدلات والسرعات.

للبيانات الموجبة، تحكمها علاقة الترتيب: الوسط التوافقي ≤ الوسط الهندسي ≤ الوسط الحسابي. تحسب هذه الحاسبة الوسطين الهندسي والحسابي معاً لتمكين المقارنة المباشرة.

حاسبات ذات صلة

• حاسبة الوسط الحسابي والوسيط والمنوال — الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى
• حاسبة المتوسط المرجّح — الوسط الموزون بأوزان مختلفة لكل قيمة
• حاسبة التباين والانحراف المعياري — التباين والانحراف المعياري لقياس التشتت
• حاسبة الإحصاء الوصفي — ملخص إحصائي شامل يشمل الالتواء والتفلطح