حاسبة الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

آخر تحديث: 2026-05-19

ما الذي تفعله هذه الحاسبة؟

أدخل قائمة أرقام مفصولة بفواصل — مثل 12, 15, 11, 19, 14 — لتحصل فوراً على أبرز أربعة مقاييس للنزعة المركزية: الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى. مفيدة لمراجعة الواجبات وإعداد الدروس وتحليل البيانات بسرعة دون الحاجة إلى فتح جدول بيانات.

المقاييس الأربعة موضّحة

الوسط الحسابي

الوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوماً على عددها:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

مثال: 4, 8, 15, 16, 23, 42

$\bar{x} = \frac{4 + 8 + 15 + 16 + 23 + 42}{6} = \frac{108}{6} = 18$

يستخدم الوسط الحسابي كل القيم، لذلك تستطيع قيمة شاذة واحدة أن تؤثر فيه بشكل ملحوظ. يناسب التوزيعات المتماثلة الخالية من القيم المتطرفة.

الوسيط

الوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات بعد ترتيبها تصاعدياً:

• n فردي: القيمة في الموضع ⌊n/2⌋ + 1 بعد الترتيب.
• n زوجي: متوسط القيمتين الوسطيتين.

لـ 4, 8, 15, 16, 23, 42 (n = 6، زوجي):

$M_d = \frac{15 + 16}{2} = 15.5$

لا يتأثر الوسيط بالقيم الشاذة. في كثير من الدول العربية يكون وسيط الدخل الأسري أقل من متوسطه الحسابي بسبب تركّز الثروة لدى شريحة ضيقة — ومن ثَمّ يعكس الوسيط مستوى دخل الأسرة الاعتيادية بدقة أكبر.

المنوال

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً في البيانات. يمكن أن يكون للمجموعة:

• لا يوجد منوال: جميع القيم تظهر بالتردد ذاته (يُعرض "no mode").
• أحادي المنوال: قيمة واحدة هي الأكثر تكراراً.
• ثنائي المنوال: قيمتان تتشاركان التكرار الأعلى.
• متعدد المنوال: ثلاث قيم أو أكثر تتشارك التكرار الأعلى.

مثال: في 2, 3, 3, 5, 7, 7 يتكرر 3 و7 مرتين لكل منهما ← المنوال: 3, 7.

المنوال هو المقياس الوحيد للنزعة المركزية القابل للتطبيق على البيانات الفئوية؛ كإيجاد اللون الأكثر اختياراً في استبيان.

المدى

المدى هو أبسط مقياس لمدى تشتت البيانات:

$R = x_{\max} - x_{\min}$

لـ 4, 8, 15, 16, 23, 42: المدى = 42 − 4 = 38.

المدى حساس للقيم الشاذة؛ قيمة متطرفة واحدة تُكبّره كثيراً. للحصول على مقياس تشتت أكثر دقة استخدم الانحراف المعياري المتوفر في حاسبة الإحصاء الوصفي.

مثال عملي: درجات اختبار

درجات سبعة طلاب: 55, 62, 70, 70, 78, 84, 95 من 100.

المقياس	الحساب	النتيجة
العدد	7 قيم	7
الوسط الحسابي	(55+62+70+70+78+84+95) ÷ 7 = 514 ÷ 7	73.43
الوسيط	القيمة الرابعة بعد الترتيب	70
المنوال	70 يتكرر مرتين	70
المدى	95 − 55	40

التفسير: الوسط (73.43) والوسيط (70) متقاربان، مما يدل على توزيع يكاد يكون متماثلاً. المنوال عند 70 يؤكد الدرجة الأكثر شيوعاً. المدى 40 درجة يعكس تبايناً متوسطاً بين الطلاب.

متى تستخدم كل مقياس؟

الحالة	المقياس المناسب
بيانات متماثلة بلا قيم شاذة	الوسط الحسابي
توزيع غير متماثل أو قيم متطرفة	الوسيط
إيجاد القيمة الأكثر شيوعاً	المنوال
قياس اتساع البيانات	المدى

لماذا تعمل هذه الصيغ؟

الوسط الحسابي يُصغّر مجموع مربعات الانحرافات Σ(xᵢ − c)² — وهذه الخاصية هي أساس طريقة المربعات الصغرى والانحدار الخطي.

الوسيط يُصغّر مجموع القيم المطلقة للانحرافات Σ|xᵢ − c| — مما يجعله مقاوماً للقيم الشاذة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

متى أستخدم الوسط الحسابي ومتى أستخدم الوسيط؟

يُستخدم الوسط الحسابي عندما تكون البيانات متماثلة التوزيع وخالية من القيم الشاذة، إذ يستفيد من جميع القيم. يُفضَّل الوسيط عند وجود توزيع غير متماثل أو قيم متطرفة كالدخول وأسعار العقارات، لأنه لا يتأثر بتلك القيم الشاذة.

على سبيل المثال، يكون وسيط الدخل في توزيعات الدخل أدنى من متوسطه، نظراً لتركّز الثروة لدى شريحة محدودة من السكان.

هل يمكن أن يكون للبيانات أكثر من منوال واحد؟

نعم. يُقال للتوزيع إنه ثنائي المنوال عندما تتشارك قيمتان التكرار الأعلى، ومتعدد المنوال إذا كانت ثلاث قيم أو أكثر. في المثال 2, 3, 3, 5, 7, 7 يتكرر كل من 3 و7 مرتين؛ تعرض الحاسبة المنوالَين: "3, 7".

ماذا يحدث إذا كانت جميع القيم مختلفة؟

عندما تظهر كل قيمة مرة واحدة فقط، لا توجد قيمة أكثر تكراراً من غيرها، وبالتالي لا يوجد منوال بالاصطلاح الإحصائي. تُظهر الحاسبة "no mode" في هذه الحالة، بينما تُحسب الوسط والوسيط والمدى بصورة طبيعية.

ما الفرق بين هذه الحاسبة وحاسبة الإحصاء الوصفي؟

تختص هذه الحاسبة بالمقاييس الأربعة الأكثر شيوعاً في التعليم — الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى — وتقبل أي عدد من القيم. أما حاسبة الإحصاء الوصفي الكاملة فتحسب إضافةً إلى ذلك التباين والانحراف المعياري. استخدم هذه الحاسبة للاستعلام السريع عن النزعة المركزية، وانتقل إلى الأخرى إذا احتجت إلى مقاييس التشتت.