حاسبة الإحصاء الوصفي

آخر تحديث: 2026-05-18

الإحصاء الوصفي

الإحصاء الوصفي هو مجموعة المقاييس الرقمية التي تلخّص توزيع مجموعة بيانات: مركزها وتشتتها ومداها. تشمل المقاييس المحسوبة هنا المتوسط الحسابي، وتباين وانحراف معياري المجتمع والعينة، والقيمة الصغرى والعظمى والمدى لثماني قيم — وهي الأساس لأي تحليل كمي.

المقاييس الأربعة ومعانيها

المتوسط الحسابي: يُجمع مجموع جميع القيم ثم يُقسَّم على 8. المتوسط هو نقطة توازن مجموعة البيانات، وهو حساس للقيم الشاذة؛ إذ تستطيع قيمة متطرفة واحدة أن تسحبه بشكل ملحوظ.

التباين: متوسط مربعات الفروق عن المتوسط الحسابي. التربيع يضمن الحصول على قيم موجبة دائمًا ويضخّم تأثير القيم الشاذة. وله صيغتان:

• تباين المجتمع (σ²) — يُقسَّم على N
• تباين العينة (s²) — يُقسَّم على N − 1

الانحراف المعياري: الجذر التربيعي للتباين، بنفس وحدة قياس البيانات الأصلية (متر، ريال، ثانية). هو أكثر مقاييس التشتت استخدامًا في التقارير والأبحاث.

المدى: القيمة العظمى − القيمة الصغرى. أبسط مقاييس التشتت — مفيد، لكنه حساس جدًا للقيم الشاذة لأنه يعتمد على قيمتين فقط.

تباين المجتمع مقابل تباين العينة

الاختيار بين المقامين N و N − 1 يعتمد على طبيعة البيانات.

تباين المجتمع (σ²، يُقسَّم على N): يُستخدم حين تُمثّل البيانات الثماني المجتمع الإحصائي بأكمله — أي لا توجد مجموعة أكبر سُحبت منها هذه البيانات. مثال: درجات جميع الطلاب الثمانية في دورة تدريبية مغلقة تُحللها بالكامل.

تباين العينة (s²، يُقسَّم على N − 1): يُستخدم حين تكون البيانات الثماني عينة عشوائية مسحوبة من مجتمع أكبر، ويُراد تقدير التباين الحقيقي لذلك المجتمع. المقام N − 1 هو تصحيح بيسل، الذي يجعل s² مُقدِّرًا غير متحيز. بدونه، يُقلّل تباين العينة بشكل منهجي من التباين الحقيقي.

السبب البديهي: تميل العينة إلى الاقتراب من متوسطها الخاص أكثر من المتوسط الحقيقي للمجتمع، مما يجعل SS ÷ N أصغر مما ينبغي في المتوسط. القسمة على N − 1 تُعالج هذا الانحياز.

قاعدة عامة: إذا كانت البيانات الثماني مسحوبة من مجموعة أكبر (استجابات استبيان، قياسات، درجات اختبار)، فالانحراف المعياري للعينة هو الأنسب. أما إذا كانت البيانات الثماني تُعرّف المجتمع بأكمله المعني بالتحليل، فيُستخدم انحراف معياري المجتمع.

مثال تطبيقي — درجات امتحان

الدرجات: 12، 15، 11، 19، 14، 22، 9، 17

المتوسط الحسابي: (12 + 15 + 11 + 19 + 14 + 22 + 9 + 17) ÷ 8 = 119 ÷ 8 = 14.875

مجموع مربعات الانحرافات (SS):

• (12 − 14.875)² = 8.27
• (15 − 14.875)² = 0.02
• (11 − 14.875)² = 15.02
• (19 − 14.875)² = 17.02
• (14 − 14.875)² = 0.77
• (22 − 14.875)² = 50.77
• (9 − 14.875)² = 34.52
• (17 − 14.875)² = 4.52

SS = 130.875

انحراف معياري المجتمع: $\sigma = \sqrt{130.875 \div 8} = \sqrt{16.36} \approx$ 4.04

انحراف معياري العينة: $s = \sqrt{130.875 \div 7} = \sqrt{18.70} \approx$ 4.32

الدرجة 22 قيمة شاذة طفيفة — تُشكّل وحدها نحو 39% من إجمالي SS.

حساب الوسيط

يستلزم حساب الوسيط عملية ترتيب — إيجاد القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات من الأصغر إلى الأكبر. بالنسبة لـ 8 قيم (N زوجي)، الوسيط هو (القيمة الرابعة + القيمة الخامسة) ÷ 2 بعد الترتيب. يُقيّم محرك الحاسبة الصيغ بصورة جبرية ولا يدعم عمليات الترتيب على المدخلات المتغيرة. لحساب الوسيط، استخدم جداول البيانات: MEDIAN() في Excel أو Google Sheets.