آخر تحديث: 2026-05-18

المثلث القائم متساوي الساقين (45-45-90)

المثلث القائم متساوي الساقين هو مثلث يحوي زاويتين متساويتين قيمة كل منهما 45° وزاوية قائمة مقدارها 90°. يُسمى متساوي الساقين لأن ضلعيه القائمين (الساقين) متساويان في الطول، ويُسمى قائماً لاحتوائه على زاوية قائمة. نسبة أضلاعه هي $1 : 1 : \sqrt{2}$، وهي إحدى نسبتين خاصتين بارزتين في الهندسة إلى جانب $1 : \sqrt{3} : 2$ للمثلث 30-60-90.

علاقته بالمربع

عند رسم قطر المربع ذي الضلع $l$، ينقسم إلى مثلثين متطابقين، كل منهما مثلث قائم متساوي الساقين. يساوي كل ضلع قائم في المثلث ضلعَ المربع، ويساوي الوتر قطره. هذا هو السبب الجوهري في ظهور $\sqrt{2}$ كثيراً في الهندسة: فهو النسبة بين قطر المربع وضلعه.

الصيغ الحسابية

ليكن $l$ طول الضلع القائم.

الكمية	الصيغة
الوتر $c$	$l\sqrt{2}$
المساحة $S$	$l^2 / 2$
المحيط $P$	$l(2 + \sqrt{2})$

القيمة المعلومة	الضلع القائم $l$	الوتر $c$	المساحة $S$
من الضلع القائم $l$	—	$l\sqrt{2}$	$l^2/2$
من الوتر $c$	$c/\sqrt{2}$	—	$c^2/4$
من المساحة $S$	$\sqrt{2S}$	$2\sqrt{S}$	—

مثال محلول

لـ $l = 5$:

$c = 5\sqrt{2} \approx 7.071, \quad S = \frac{25}{2} = 12.5, \quad P = 5(2+\sqrt{2}) \approx 17.07$

اشتقاق الصيغ

الوتر: نطبق نظرية فيثاغورس على الضلعين القائمين المتساويين $l$:

$c = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$

المساحة: القاعدة والارتفاع كلاهما $l$ (الضلعان متعامدان):

$S = \frac{1}{2} \times l \times l = \frac{l^2}{2}$

من الوتر: $l = c/\sqrt{2}$، إذن $S = l^2/2 = (c/\sqrt{2})^2/2 = c^2/4$.

من المساحة: $S = l^2/2$ يعطي $l = \sqrt{2S}$، ثم $c = l\sqrt{2} = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$.

خصائص إضافية

• هذا المثلث هو الوحيد الذي يجمع بين خاصيتي التساوي في الساقين والقائمية في آنٍ واحد.
• نصف قطر الدائرة المحيطة: $R = c/2$ (الزاوية القائمة تقع على نصف دائرة قطرها $c$).
• نصف قطر الدائرة الداخلية (المُنحَصِرة): $r = l(2-\sqrt{2})/2$.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما نسب أضلاع المثلث القائم متساوي الساقين 45-45-90؟

يمتلك المثلث 45-45-90 ضلعين قائمين متساويين ووتراً. نسبة الأضلاع هي ضلع قائم : ضلع قائم : وتر = 1 : 1 : √2. إذا كان كل ضلع قائم طوله l، فإن الوتر يساوي l√2 ≈ 1.414l. على سبيل المثال، إذا كان الضلع القائم = 5، يصبح الوتر 5√2 ≈ 7.071.

يظهر هذا المثلث بصورة طبيعية عند قسم المربع بقطره: ينتج نصفان كل منهما مثلث قائم متساوي الساقين.

كيف أحسب وتر المثلث القائم متساوي الساقين إذا عرفت الضلع القائم؟

نطبق نظرية فيثاغورس: c = √(l² + l²) = √(2l²) = l√2. عند l = 5: c = 5√2 ≈ 7.071. المساحة S = l²/2 (القاعدة والارتفاع كلاهما l)، والمحيط P = 2l + l√2 = l(2 + √2) ≈ 3.414l.

كيف أجد الضلع القائم للمثلث 45-45-90 إذا كان الوتر معلوماً؟

بإعادة ترتيب l√2 = c نحصل على l = c ÷ √2 = c√2 ÷ 2. عند c = 10: l = 10 ÷ √2 ≈ 7.071. المساحة S = c²/4 (إذ S = l²/2 = (c/√2)²/2 = c²/4)، والمحيط P = c(1 + √2) ≈ 2.414c.