آخر تحديث: 2026-07-01

معادلة الدائرة

الدائرة هي مجموعة كل النقاط التي تبعد مسافة ثابتة — نصف القطر $r$ — عن نقطة ثابتة — المركز $(h, k)$. وترجمة هذا التعريف إلى الإحداثيات تعطي الصيغة القياسية للدائرة:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

وبفك المربعات وجمع الحدود نحصل على الصيغة العامة:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

تَصِف المعادلتان الدائرة نفسها. تُظهِر الصيغة القياسية المركز ونصف القطر بوضوح، بينما تُخفيهما الصيغة العامة، لكنها الشكل الذي يظهر طبيعيًا حين تُعطى المعادلة «خامًا». تحوّل هذه الحاسبة بين الصيغتين في كلا الاتجاهين.

من الصيغة العامة إلى المركز ونصف القطر

بمعلومية $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$، يكون المركز ونصف القطر:

$\text{center} = \left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right) \qquad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

تُقرأ إحداثيات المركز مباشرةً من معاملَي $x$ و$y$. أما نصف القطر فيشترط أن يكون المقدار تحت الجذر — المقدار تحت الجذر $\tfrac{D^2}{4} + \tfrac{E^2}{4} - F$ — موجبًا لوجود دائرة حقيقية.

إكمال المربع

التحويل ليس سوى إكمال المربع مطبَّقًا على المتغيّرين معًا. ابدأ من الصيغة العامة وجمّع:

$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

لإكمال كل مربع، أضِف مربّع نصف المعامل الخطي إلى الطرفين — $\left(\tfrac{D}{2}\right)^2$ لمجموعة $x$ و$\left(\tfrac{E}{2}\right)^2$ لمجموعة $y$:

$\left(x + \tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

الطرف الأيسر الآن مجموع مربّعين كاملين مركزهما $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$، والطرف الأيمن هو $r^2$. وهذه هي الصيغة القياسية تمامًا.

مثال محلول

المسألة: أوجد مركز ونصف قطر $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

الخطوة 1 — تحديد المعاملات: $D = -4$ و$E = 6$ و$F = 9$.

الخطوة 2 — إيجاد المركز:

$\text{center} = \left(-\frac{-4}{2},\ -\frac{6}{2}\right) = (2,\ -3)$

الخطوة 3 — إيجاد نصف القطر:

$r = \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$

إذن الدائرة مركزها $(2, -3)$ ونصف قطرها $2$، وصيغتها القياسية $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$.

من المركز ونصف القطر إلى الصيغة العامة

في الاتجاه المعاكس، نَفُكّ مربعات الصيغة القياسية. بمركز $(h, k)$ ونصف قطر $r$:

$D = -2h \qquad E = -2k \qquad F = h^2 + k^2 - r^2$

في المثال السابق، $h = 2$ و$k = -3$ و$r = 2$ تعطي $D = -4$ و$E = 6$ و$F = 4 + 9 - 4 = 9$، فنستعيد الصيغة العامة الأصلية $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

متى لا توجد دائرة حقيقية

يكون نصف القطر حقيقيًا فقط عندما يكون المقدار تحت الجذر موجبًا:

$\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$

تظهر ثلاث حالات:

• مقدار موجب — دائرة حقيقية نصف قطرها $r = \sqrt{\text{المقدار تحت الجذر}}$.
• مقدار صفري — تنكمش المعادلة إلى النقطة الوحيدة $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$، أي «دائرة نقطية» منحطّة نصف قطرها $0$.
• مقدار سالب — لا توجد نقطة حقيقية تحقّق المعادلة. تُسمّى أحيانًا دائرة تخيّلية، وهندسيًا لا شيء يمكن رسمه.

مثلًا، $x^2 + y^2 + 1 = 0$ لها $D = E = 0$ و$F = 1$، فالمقدار تحت الجذر هو $-1$. ولا يوجد $(x, y)$ حقيقي يجعل مجموع مربّعين يساوي $-1$، فلا توجد دائرة.

لماذا تهمّ الصيغة العامة

الصيغة العامة $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ هي معادلة الدرجة الثانية التي يتساوى فيها معاملا $x^2$ و$y^2$ ولا يوجد فيها حدّ $xy$ — وهي البصمة الجبرية للدائرة بين القطوع المخروطية. التعرّف عليها يتيح الحكم بنظرة واحدة على ما إذا كانت معادلة درجة ثانية معقّدة تمثّل دائرة (معاملان تربيعيان متساويان، دون حدّ مختلط) قبل أي حساب، ثم يكشف إكمال المربع عن مركزها ونصف قطرها.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما الفرق بين الصيغة القياسية والصيغة العامة للدائرة؟

تُظهِر الصيغة القياسية (x − h)² + (y − k)² = r² المركز (h, k) ونصف القطر r مباشرةً؛ يمكن قراءتهما فورًا. أما الصيغة العامة x² + y² + Dx + Ey + F = 0 فهي النسخة المفكوكة؛ تُخفي المركز ونصف القطر لكنها ملائمة للعمليات الجبرية وللمقارنة مع القطوع المخروطية الأخرى.

كلتاهما تصف الدائرة نفسها، ويتم التحويل بينهما بإكمال المربع (عامة ← قياسية) أو بفك المربعات (قياسية ← عامة).

كيف أجد المركز ونصف القطر من x² + y² + Dx + Ey + F = 0؟

أكمل المربع لكلٍّ من x وy على حدة. المركز هو (−D/2, −E/2) ونصف القطر r = √(D²/4 + E²/4 − F). مثلًا x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0 مركزها (2, −3) ونصف قطرها √(4 + 9 − 9) = √4 = 2.

كيف يحوّل إكمال المربع الصيغة العامة إلى القياسية؟

اجمع حدود x وحدود y: (x² + Dx) + (y² + Ey) = −F. أضِف (D/2)² و(E/2)² إلى الطرفين لإكمال كل مربع: (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F. الطرف الأيسر الآن مربّعان كاملان مركزهما (−D/2, −E/2)، والطرف الأيمن هو r². هذه هي الصيغة القياسية.

متى لا تمثّل المعادلة دائرة حقيقية؟

مربّع نصف القطر هو r² = D²/4 + E²/4 − F. إذا كانت هذه القيمة سالبة، فلا يوجد أي (x, y) حقيقي يحقّق المعادلة، ومن ثَمّ لا توجد دائرة (تُسمّى أحيانًا دائرة تخيّلية). وإذا كانت صفرًا تمامًا، تنكمش المعادلة إلى نقطة واحدة عند المركز — «دائرة نقطية» منحطّة نصف قطرها 0. الدائرة الحقيقية تتطلّب D²/4 + E²/4 − F > 0.