آخر تحديث: 2026-07-01

قاعدة شبه المنحرف

تقدّر قاعدة شبه المنحرف تكاملًا محددًا باستبدال المنحنى بين النقاط المأخوذة بقطع مستقيمة. تتحوّل كل شريحة إلى شبه منحرف، ويُقرَّب التكامل بمجموع مساحات أشباه المنحرفات هذه.

عند تقسيم الفترة [a, b] إلى n فترة جزئية متساوية العرض h = (b − a) / n نحصل على n + 1 نقطة شبكية: x₀ = a، x₁، x₂، …، xₙ = b. وبتقييم الدالة عند كل نقطة نحصل على القيم f(x₀)، f(x₁)، …، f(xₙ)، ويكون التقدير:

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

تعمل هذه الحاسبة بقيم مأخوذة للدالة لا بصيغة مكتوبة: تقدّم f عند النقاط المتساوية التباعد وعددها n + 1، وهي تمامًا الحالة التي تأتي فيها البيانات من قياسات أو من جدول.

لماذا تكون الأوزان 1، 2، 2، …، 2، 1

تُكوّن الفترة الجزئية الواحدة [xᵢ, xᵢ₊₁] شبه منحرف ضلعاه المتوازيان f(xᵢ) وf(xᵢ₊₁) وعرضه h، ومساحته (h/2)·(f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)). وعند جمع مساحات أشباه المنحرفات الـ n، تتشارك كل نقطة داخلية بين شبهَي منحرف متجاورين فتظهر مرتين، بينما يظهر الطرفان الخارجيان مرة واحدة فقط. ومن هنا ينشأ نمط الأوزان 1، 2، 2، …، 2، 1، الكل مضروب في h/2. وهناك إعادة كتابة مفيدة تُستخدَم داخليًا:

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[2·(f₀ + f₁ + … + fₙ) − f₀ − fₙ]

أي جمع كل قيمة مرتين ثم طرح الطرفين مرة واحدة.

مثال محلول

نقدّر ∫₀¹ x² dx باستخدام n = 4 فترات جزئية. طول الخطوة h = (1 − 0) / 4 = 0.25، والنقاط الشبكية هي 0، 0.25، 0.5، 0.75، 1. وقيم x² هي:

بتطبيق القاعدة:

∫ ≈ (0.25/2)·[0 + 2(0.0625) + 2(0.25) + 2(0.5625) + 1] ∫ ≈ 0.125·[0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 + 1] = 0.125·2.75 = 0.34375

القيمة المضبوطة هي 1/3 ≈ 0.33333، فأربع شرائح تصل بالفعل إلى دقة نحو 0.01. وبالتنقيح إلى n = 10 نحصل على 0.335، وإلى n = 100 على 0.333325 — يتناقص الخطأ تقريبًا بتناسب مع h².

كيف يتصرّف الخطأ

قاعدة شبه المنحرف من الرتبة الثانية: تنصيف h يقلّل الخطأ بمعامل نحو أربعة. ولدالة قابلة للاشتقاق مرتين، يكون الخطأ على [a, b]

E = −((b − a)·h²/12)·f″(ξ)

عند نقطة ما ξ في الفترة. ومن إشارة المشتقة الثانية تتبع نتيجتان:

• في منحنى مقعّر نحو الأعلى (f″ > 0) تقع الأوتار فوق المنحنى، فتبالغ القاعدة في تقدير التكامل.
• في منحنى مقعّر نحو الأسفل (f″ < 0) تقع الأوتار تحته، فتقلّل القاعدة من تقديره.

أما للمستقيمات فإن f″ = 0، لذا تكون قاعدة شبه المنحرف مضبوطة — فكل شريحة شبه منحرف حقيقي بلا انحناء مفقود.

قاعدة شبه المنحرف مقابل قاعدة سيمبسون

تُلائم قاعدة سيمبسون قطعًا مكافئًا لكل زوج من الفترات الجزئية بدل القطعة المستقيمة. وخطؤها يتناسب مع h⁴، لذا تتقارب للدوال الملساء أسرع بكثير عند العدد نفسه من النقاط. وفي المقابل تتطلب سيمبسون عددًا زوجيًا من الفترات الجزئية، بينما تعمل قاعدة شبه المنحرف مع أي n. كما أن قاعدة شبه المنحرف أكثر متانة مع البيانات المشوّشة أو غير المنتظمة، حيث قد يضخّم فرضُ قطعٍ مكافئ على نقاط متبعثرة من الضوضاء.

قاعدة عملية: استخدم شبه المنحرف للتقديرات السريعة والبيانات المجدوَلة أو حين يلزم أن يكون n فرديًا؛ واستخدم سيمبسون حين تكون الدالة ملساء وتريد دقة عالية بالقدر نفسه من العيّنات.

ملاحظات عملية

• طابِق العدد. مع n فترة جزئية يجب أن تقدّم تمامًا n + 1 قيمة، واحدة لكل نقطة شبكية. وتنبّهك الحاسبة إلى أي تعارض ليبقى التباعد منتظمًا.
• حافظ على الترتيب. رتّب القيم من x₀ = a إلى xₙ = b. فالطرفان موزونان على نحو مختلف عن النقاط الداخلية، لذا يهمّ الترتيب.
• حدّان معكوسان. إذا كان a أكبر من b صار طول الخطوة سالبًا وتغيّرت إشارة النتيجة — تماشيًا مع عُرف تبديل حدّي التكامل.
• التباعد المنتظم فقط. هذه قاعدة شبه المنحرف على شبكة منتظمة. أما البيانات غير المتساوية التباعد فتحتاج إلى الصيغة العامة بعرض خاص لكل شريحة.

حاسبات ذات صلة

• حاسبة التكامل المحدد للكثيرات الحدود — التكامل المضبوط لكثير حدود عبر المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل
• حساب مشتقة كثيرة الحدود عند نقطة — المشتقة العددية عند نقطة واحدة
• حاسبة المتتالية الحسابية — حدود ومجاميع قيم متساوية التباعد