آخر تحديث: 2026-07-02

تحليل الكسور الجزئية

تحليل الكسور الجزئية يعيد كتابة دالة كسرية على صورة مجموع كسور أبسط تكون مقاماتها هي عوامل المقام الأصلي. بالنسبة لكسر فعلي — تكون درجة بسطه أقل من درجة مقامه — وله عاملان خطيان مختلفان، يأخذ التحليل الصورة

$$\frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)} = \frac{A}{x - r_1} + \frac{B}{x - r_2}.$$

بهذه الصورة يصبح الكسر أسهل بكثير في التكامل، وفي تحويل لابلاس العكسي، وفي النشر إلى متسلسلة.

طريقة التغطية

أسرع طريقة لإيجاد $A$ و $B$ هي طريقة التغطية (طريقة هيفيسايد).

الخطوة 1 — إيجاد A. غطِّ العامل $(x - r_1)$ في المقام واحسب ما تبقّى عند $x = r_1$:

$$A = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_2}\right|_{x = r_1} = \frac{p\,r_1 + q}{r_1 - r_2}.$$

الخطوة 2 — إيجاد B. غطِّ العامل $(x - r_2)$ واحسب الباقي عند $x = r_2$:

$$B = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_1}\right|_{x = r_2} = \frac{p\,r_2 + q}{r_2 - r_1}.$$

لماذا تنجح طريقة التغطية

اضرب طرفَي التحليل في $(x - r_1)$:

$$\frac{p\,x + q}{x - r_2} = A + \frac{B\,(x - r_1)}{x - r_2}.$$

الآن ضع $x = r_1$. يحتوي الحد الثاني على العامل $(x - r_1)$ فينعدم، ليبقى مباشرة $A = (p\,r_1 + q)/(r_1 - r_2)$. وبالحجة نفسها مع $(x - r_2)$ نعزل $B$.

مثال محلول

حلِّل $\dfrac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

هنا $p = 3$، $q = -1$، $r_1 = 1$، $r_2 = -2$.

$$A = \frac{3(1) - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$$ $$B = \frac{3(-2) - 1}{-2 - 1} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$

إذن

$$\frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{7/3}{x + 2}.$$

التحقق: بالجمع على المقام المشترك،

$$\frac{2}{3}(x + 2) + \frac{7}{3}(x - 1) = \frac{2x + 4 + 7x - 7}{3} = \frac{9x - 3}{3} = 3x - 1. \checkmark$$

اختصار مفيد

بالنسبة للبسط $p\,x + q$، يحقّق المعاملان دائمًا $A + B = p$. مطابقة الحد الأعلى درجةً في البسط المعاد تجميعه تفرض أن يكون مجموع $A$ و $B$ مساويًا لمعامل $x$ في البسط، وهو تحقّق سريع من الحل.

يلزم أن تكون الجذور مختلفة

الصورة $A/(x - r_1) + B/(x - r_2)$ تفترض عاملين خطيين مختلفين.

المقام	الصورة الصحيحة
$(x - r_1)(x - r_2)$، مختلفان	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{x - r_2}$
$(x - r_1)^2$، مكرّر	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{(x - r_1)^2}$

صيغة طريقة التغطية تقسم على $r_1 - r_2$ الذي يساوي صفرًا عند تطابق الجذرين؛ فالعامل المكرّر يحتاج الصورة الثانية ويقع خارج نطاق هذه الحاسبة.

الاستعمال في التكامل

الفائدة الكبرى في التفاضل والتكامل. يصعب تكامل الدالة الكسرية مباشرة، لكن كل كسر جزئي يتكامل فورًا:

$$\int \frac{A}{x - r}\,dx = A \ln|x - r| + C.$$

وهكذا بعد التحليل،

$$\int \frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)}\,dx = A \ln|x - r_1| + B \ln|x - r_2| + C.$$

التطبيقات

• تكامل الدوال الكسرية في التفاضل والتكامل.
• تحويلات لابلاس العكسية في المعادلات التفاضلية ونظرية التحكّم.
• النشر إلى متسلسلات والدوال المولِّدة في التوافيقيات.
• معالجة الإشارات، حيث تُجزّأ دوال النقل إلى حدود من الرتبة الأولى.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو تحليل الكسور الجزئية؟

تحليل الكسور الجزئية يعيد كتابة دالة كسرية على صورة مجموع كسور أبسط تكون مقاماتها هي عوامل المقام الأصلي. بالنسبة لكسر فعلي (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) ذي عاملين خطيين مختلفين، يكون التحليل A/(x − r₁) + B/(x − r₂). بهذه الصورة يصبح الكسر أسهل بكثير في التكامل، وفي تحويل لابلاس العكسي، وفي النشر إلى متسلسلة.

كيف تجد طريقة التغطية قيمتي A و B؟

لإيجاد A، غطِّ العامل (x − r₁) في المقام واحسب ما تبقّى عند x = r₁. وبما أن الحد الثاني A·(x − r₁)/(x − r₁) لا يبقى إلا عند تغطية عامله الخاص، فإن كل ما عداه ينعدم عند تلك القيمة، فينتج A = (p·r₁ + q) / (r₁ − r₂) مباشرة. وبالتماثل B = (p·r₂ + q) / (r₂ − r₁). تُغني هذه الطريقة عن إنشاء نظام خطي وحلّه.

لماذا يجب أن يكون الجذران مختلفين؟

الصورة A/(x − r₁) + B/(x − r₂) تفترض وجود عاملين خطيين مختلفين. إذا كان r₁ = r₂ فإن المقام عامل مكرّر (x − r₁)²، ويستخدم التحليل الصحيح الصورة A/(x − r₁) + B/(x − r₁)². صيغة طريقة التغطية تقسم على (r₁ − r₂) الذي يساوي صفرًا عند تطابق الجذرين، لذا تتطلّب هذه الحاسبة جذرين مختلفين.

كيف يُستخدم ذلك في التكامل؟

يصعب تكامل الدالة الكسرية مباشرة، لكن كل كسر جزئي A/(x − r) يتكامل فورًا إلى A·ln|x − r| + C. لذا بعد تحليل (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) إلى A/(x − r₁) + B/(x − r₂)، يكون التكامل A·ln|x − r₁| + B·ln|x − r₂| + C. وهذه هي الخطوة الأولى المعتادة لتكامل الدوال الكسرية في التفاضل والتكامل.