تاريخ الإنشاء: 13 يونيو 2026 في 06:01 م

حساب حجم الإهليلجي ومساحته السطحية

المدخلات

شبه المحور a	3 سم
شبه المحور b	2 سم
شبه المحور c	1 سم

الرسم البياني

الرياضيات

حساب حجم الإهليلجي ومساحته السطحية

احسب الحجم الدقيق والمساحة السطحية التقريبية لإهليلجي ثلاثي المحاور من أشباه محاوره الثلاثة. النتائج بالوحدات المترية والإنجليزية مع اشتقاق تفصيلي.

شبه المحور a

شبه المحور b

شبه المحور c

أدخل قيمة لعرض النتائج.

الحجم

cm³

تفاصيل

المساحة السطحية (تقريبية)

cm²

الحجم

\begin{aligned} V &= \tfrac{4}{3}\pi a b c \\ &= \tfrac{4}{3}\pi (3\,\text{سم})(2\,\text{سم})(1\,\text{سم}) \\ &= ?\,\text{cm³} \end{aligned}

المساحة السطحية (تقريب كنود تومسن)

\begin{aligned} A &\approx 4\pi\!\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{\!1/p} \\[4pt] &\quad p = 1.6075 \\[4pt] &= ?\,\text{cm²} \end{aligned}

آخر تحديث: 2026-06-04

تعريف الإهليلجي

الإهليلجي سطح مغلق أملس في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تُشكِّل مقاطعه العرضية في جميع الاتجاهات أشكالًا إهليلجية. يتحدَّد الإهليلجي بثلاثة أشباه محاور — نصف الأطوال على طول محاور الإحداثيات الثلاثة:

a — أطول نصف محور (على طول المحور x)
b — نصف المحور المتوسط (على طول المحور y)
c — أقصر نصف محور (على طول المحور z، ويمثل العمق)

كل نقطة على السطح تُحقِّق المعادلة: x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1. وعندما تتساوى أشباه المحاور الثلاثة (a = b = c = r)، يصبح الإهليلجي كرةً نصف قطرها r.

تظهر الأشكال الإهليلجية في مواضع عديدة: الأرض كروي مفلطح (a ≈ b > c)، وكرة الرغبي كروي مستطيل (a > b ≈ c)، فضلًا عن نوى الخلايا الحيوية وأوعية الضغط في التطبيقات الهندسية.

صيغة الحجم واشتقاقها

حجم الإهليلجي يُحسب بالصيغة المضبوطة:

V = \frac{4}{3}\pi a b c

اشتقاق الصيغة بالتكامل

يُمكن اشتقاق هذه الصيغة بتكامل المقاطع الإهليلجية الأفقية. عند الارتفاع z، يكون المقطع الأفقي إهليلجًا نصفا محوريه a·√(1 − z²/c²) وb·√(1 − z²/c²)، ومساحته:

A(z) = \pi a b \left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right)

وبالتكامل من z = −c إلى z = c:

V = \int_{-c}^{c} \pi a b \left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right) dz = \pi a b \left[z - \frac{z^3}{3c^2}\right]_{-c}^{c} = \frac{4}{3}\pi a b c

هذه الصيغة تعميم مباشر لصيغة الكرة: إذا أُحلَّ كل من a وb وc محل r، نحصل على V = (4/3)πr³. ويترتب على ذلك أن مضاعفة أي نصف محور بمفرده تُضاعف الحجم، بينما مضاعفة المحاور الثلاثة معًا تُكثِّر الحجم بمقدار 8.

المساحة السطحية: لماذا لا توجد صيغة مغلقة؟

بالنسبة للكرة، تتساوى قيم الانحناء في كل نقاط السطح، فيتبسَّط التكامل السطحي إلى 4πr². أما في الإهليلجي فإن الانحناء يتغير باستمرار من نقطة إلى أخرى، ويُختزَل التكامل السطحي إلى تكاملات إهليلجية ناقصة من النوعين الأول والثاني — دوال متعالية لا تُمثَّل بصيغ جبرية مغلقة.

الحالات الخاصة ذات الصيغ الدقيقة

في حالة الكروي (إهليلجي بمحورين متساويين) تُختزَل التكاملات الإهليلجية إلى دوال أولية:

الكروي المفلطح (a = b > c): A = 2πa² + 2π(c²/e)·arctanh e، حيث e = √(1 − c²/a²)
الكروي المستطيل (a > b = c): A = 2πb²[1 + (a/(be))·arcsin e]، حيث e = √(1 − b²/a²)

أما الإهليلجي الثلاثي المحاور العام (a ≠ b ≠ c) فلا يقبل صيغة مغلقة دقيقة، ويستلزم استخدام تقريب عملي.

تقريب كنود تومسن

أدق الصيغ التقريبية البسيطة للمساحة السطحية هو تقريب كنود تومسن (2004):

A \approx 4\pi \left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{1/p}, \quad p = 1.6075

اختُير الأس p = 1.6075 بطريقة تجريبية لتقليل الخطأ النسبي الأقصى. لأي توليفة من أشباه المحاور الموجبة، لا يتجاوز الخطأ 1.061 ٪. وللكرة (a = b = c) تُعطي الصيغة القيمة الدقيقة 4πa² تمامًا.

الحالات الخاصة: جدول مقارن

الشكل	الشرط	الحجم	المساحة السطحية
كرة	a = b = c	(4/3)πa³	4πa² (دقيق)
كروي مفلطح	a = b > c	(4/3)πa²c	صيغة arcsin (دقيق)
كروي مستطيل	a > b = c	(4/3)πac²	صيغة arcsinh (دقيق)
إهليلجي ثلاثي المحاور	a ≠ b ≠ c	(4/3)πabc	تقريب كنود تومسن

مثال محسوب

خزان بيضاوي الشكل لحوض أسماك يمتلك أشباه المحاور: a = 40 cm، وb = 25 cm، وc = 20 cm.

الحجم:

V = \frac{4}{3} \times \pi \times 0{.}40 \times 0{.}25 \times 0{.}20 \approx 0{.}08378 \text{ m}^3 \approx 83{.}8 \text{ لتر}

المساحة السطحية (تقريب كنود تومسن، p = 1.6075):

A \approx 4\pi \left(\frac{0{.}40^{1.6075} \times 0{.}25^{1.6075} + 0{.}40^{1.6075} \times 0{.}20^{1.6075} + 0{.}25^{1.6075} \times 0{.}20^{1.6075}}{3}\right)^{1/1.6075} \approx 0{.}985 \text{ m}^2

يُشير هذا الرقم إلى الكمية التقريبية من مادة الأكريليك اللازمة لتصنيع جدار الخزان. ونظرًا لأن نسب المحاور ليست متطرفة، يقل الخطأ الفعلي في هذه الحالة عن 0.3 ٪.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما صيغة حساب حجم الإهليلجي؟

حجم الإهليلجي ذي أشباه المحاور a وb وc يُحسب بالصيغة V = (4/3)πabc. فمثلًا، إهليلجي بأشباه محاور a = 3 cm وb = 2 cm وc = 1 cm يكون حجمه V = (4/3) × π × 3 × 2 × 1 ≈ 25.13 cm³. وعندما تتساوى المحاور الثلاثة (a = b = c = r) تُختزَل الصيغة إلى صيغة الكرة V = (4/3)πr³.

لماذا تكون المساحة السطحية للإهليلجي تقريبية فقط؟

المساحة السطحية الدقيقة للإهليلجي الثلاثي المحاور العام تستلزم تكاملات إهليلجية ناقصة من النوعين الأول والثاني، وهي دوال متعالية لا تُختزَل إلى صيغة مغلقة بالدوال الجبرية العادية. لذا تُستخدَم في الغالب صيغ تقريبية. أدق هذه الصيغ البسيطة هو تقريب كنود تومسن: A ≈ 4π·[(aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3]^(1/p) حيث p = 1.6075، ويبلغ الخطأ النسبي الأقصى أقل من 1.061 ٪ لأي توليفة من أشباه المحاور. وللكرة (a = b = c) تُعطي الصيغة قيمة دقيقة تمامًا.

ما الفرق بين الكروي المفلطح والكروي المستطيل؟

الكروي هو إهليلجي خاص بمحورين متساويين. الكروي المفلطح (كشكل الأرض أو القرص المضغوط) يمتلك محورين طويلين متساويين ومحورًا قصيرًا واحدًا: a = b > c. أما الكروي المستطيل (ككرة الرغبي أو بيضة الدجاج) فيمتلك محورًا طويلًا واحدًا ومحورين قصيرين متساويين: a > b = c. في كلتا الحالتين يمكن حساب المساحة السطحية بدقة كاملة باستخدام الدوال الأولية، على عكس الحالة الثلاثية المحاور العامة.

ما مدى دقة تقريب كنود تومسن؟

صيغة كنود تومسن بالأس p = 1.6075 تُعطي خطأً نسبيًا أقصاه أقل من 1.061 ٪ لأي توليفة من أشباه المحاور الموجبة. وهي دقيقة تمامًا للكرة (a = b = c)، ولا يقترب الخطأ من الحد الأقصى إلا عند النسب المتطرفة بين المحاور. وفي معظم التطبيقات العملية — الهندسة والتصميم وعلم الأحياء — يكون الخطأ أقل من 0.5 ٪.

التالي الموصى به

حاسبة حجم الكرة والمساحة السطحية

احسب حجم الكرة ومساحتها السطحية وقطرها من نصف قطرها. بالوحدات المترية والإمبراطورية.

اعرف المزيد

حاسبة مساحة القطع الناقص ومحيطه

احسب مساحة القطع الناقص ومحيطه التقريبي ومركزيته. أدخل نصف المحور الرئيسي a ونصف المحور الثانوي b.

اعرف المزيد

حاسبة حجم الأسطوانة ومساحة سطحها

احسب حجم الأسطوانة الدائرية القائمة ومساحتها الجانبية وإجمالي مساحة سطحها. أدخل نصف قطر القاعدة والارتفاع.

اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

مدعوم من OneCalc ↗