آخر تحديث: 2026-07-01

التعريف

تنشر مبرهنة ذات الحدين قوةَ مجموعِ حدّين إلى مجموع من الحدود:

يجمع كل حد بين المعامل الثنائي $\binom{n}{k} = \tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ وبين $a$ مرفوعًا إلى $(n-k)$ و$b$ مرفوعًا إلى $k$. وحين يتغير $k$ من $0$ إلى $n$، تنخفض قوة $a$ من $n$ إلى $0$ بينما ترتفع قوة $b$ من $0$ إلى $n$، فيكون مجموع الأُسّين دائمًا $n$.

الحد العام

الحد المفرد ذو الرقم $k$ (بالعدّ من $0$) هو:

وهذا ما يحسبه حقل رقم الحد. فعند $k = 0$ نحصل على الحد الأول $a^n$، وعند $k = n$ على الحد الأخير $b^n$. وقراءة حد واحد في كل مرة مفيدة عندما لا يلزم سوى معامل بعينه أو الحد الحامل لقوة معطاة، دون كتابة النشر كاملًا.

مثال محلول

لنأخذ $(2 + 3)^4$ ونقرأ الحد عند $k = 2$. أولًا المعامل:

ثم الحد الكامل $T_3 = \binom{4}{2}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$:

النشر الكامل هو $(2 + 3)^4 = 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$، وهو يطابق $5^4$ كتحقّق.

المعاملات ومثلث باسكال

المعاملات $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ تشكّل بالضبط الصف $n$ من مثلث باسكال (مع اعتبار القمة الصف $0$). وهي تحقّق العلاقة الاستدلالية:

فكل عنصر هو مجموع العنصرين اللذين فوقه مباشرة. من أجل $(a + b)^3$ يكون الصف $1, 3, 3, 1$، ومن أجل $(a + b)^4$ يكون $1, 4, 6, 4, 1$. ويرسم مخطط المعاملات أعلاه هذا الصف مباشرة.

التناظر

المعاملات الثنائية متناظرة:

فيُقرأ الصف بالطريقة نفسها من الأمام ومن الخلف. وهذا يعكس أنّ اختيار أيّ $k$ من العوامل تسهم بـ $b$ يكافئ اختيار أيّ $n-k$ من العوامل تسهم بـ $a$.

مجموع المعاملات

بوضع $a = b = 1$ تختزل المبرهنة إلى متطابقة مضغوطة:

فمجموع معاملات أيّ صف يساوي قوة للعدد اثنين: صف $n = 3$ مجموعه $8$، وصف $n = 6$ مجموعه $64$. وبوضع $a = 1, b = -1$ نحصل على المجموع المتناوب، وهو $0$ لكل $n \geq 1$.

تطبيقات شائعة

• الجبر: نشر كثيرات الحدود وتبسيط العبارات المرفوعة إلى قوة.
• الاحتمال: تقود المعاملات التوزيع الثنائي، حيث $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ هو احتمال $k$ نجاحات في $n$ محاولات.
• التقريب: من أجل $x$ صغيرة، الإبقاء على أول حدّين من $(1 + x)^n$ يعطي التقدير $1 + nx$.
• التوافيق: متطابقات مثل مجموع الصف $2^n$ والمجموع المتناوب $0$ تنتج مباشرة من المبرهنة.

ملاحظات عملية

يلزم أُسّ صحيح. تفترض الصيغة أعلاه أنّ $n$ عدد صحيح. أما الأُسُس الكسرية أو السالبة فتستخدم المتسلسلة الثنائية المعمَّمة، وهي مجموع لا نهائي وموضوع منفصل.

الحدّان الأول والأخير. $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$، لذا فإنّ أول معامل وآخر معامل في أيّ نشر يساوي $1$.

للحصول على المعاملات وحدها — أي قيم «$n$ اختيار $k$» دون قوى $a$ و$b$ — استخدم حاسبة التوافيق — C(n, r).