تاريخ الإنشاء: 13 يونيو 2026 في 06:01 م

حاسبة ضرب المصفوفات (2×2 و 3×3)

المعادلة

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} \\ {{a21}} & {{a22}} \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} {{b11}} & {{b12}} \\ {{b21}} & {{b22}} \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} & {{a13}} \\ {{a21}} & {{a22}} & {{a23}} \\ {{a31}} & {{a32}} & {{a33}} \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} {{b11}} & {{b12}} & {{b13}} \\ {{b21}} & {{b22}} & {{b23}} \\ {{b31}} & {{b32}} & {{b33}} \end{pmatrix}

A \cdot B = \begin{pmatrix} {{c11}} & {{c12}} \\ {{c21}} & {{c22}} \end{pmatrix}

A \cdot B = \begin{pmatrix} {{c11}} & {{c12}} & {{c13}} \\ {{c21}} & {{c22}} & {{c23}} \\ {{c31}} & {{c32}} & {{c33}} \end{pmatrix}

المدخلات

حجم المصفوفة	2×2
أ الصف 1، العمود 1	1
أ الصف 1، العمود 2	2
أ الصف 1، العمود 3	0
أ الصف 2، العمود 1	3
أ الصف 2، العمود 2	4
أ الصف 2، العمود 3	0
أ الصف 3، العمود 1	0
أ الصف 3، العمود 2	0
أ الصف 3، العمود 3	1
ب الصف 1، العمود 1	5
ب الصف 1، العمود 2	6
ب الصف 1، العمود 3	0
ب الصف 2، العمود 1	7
ب الصف 2، العمود 2	8
ب الصف 2، العمود 3	0
ب الصف 3، العمود 1	0
ب الصف 3، العمود 2	0
ب الصف 3، العمود 3	1

الرياضيات

حاسبة ضرب المصفوفات (2×2 و 3×3)

احسب حاصل ضرب مصفوفتين مربعتين A·B. أدخل عناصر المصفوفتين بحجم 2×2 أو 3×3 واحصل على مصفوفة النتيجة.

حجم المصفوفة

2×2 3×3

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} \\ {{a21}} & {{a22}} \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} {{b11}} & {{b12}} \\ {{b21}} & {{b22}} \end{pmatrix}

أدخل قيمة لعرض النتائج.

حاصل الضرب A·B

A \cdot B = \begin{pmatrix} {{c11}} & {{c12}} \\ {{c21}} & {{c22}} \end{pmatrix}

آخر تحديث: 2026-06-05

ضرب المصفوفات

المصفوفة هي مجموعة من الأعداد مرتّبة في صفوف وأعمدة. ضرب مصفوفتين أ و ب — يُرمز له بأ·ب — عملية تُنتج مصفوفة جديدة تجمع التأثيرَين الخطيَّين للمصفوفتين في تحويل واحد.

صيغة ضرب المصفوفات

يُحسب العنصر الواقع في الصف i والعمود j من مصفوفة الناتج بضرب عناصر الصف i من أ في عناصر العمود j من ب وجمع النتائج:

c_{ij} = \sum_{k} a_{ik} \, b_{kj}

بالنسبة للمصفوفات المربعة بحجم ن×ن، يتطلب حساب كل عنصر ن عملية ضرب و(ن−1) عملية جمع، مما يعني أن الحجم الإجمالي للعمليات يتناسب مع ن³.

مصفوفة 2×2

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}

مثال محلول (2×2)

لتكن:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}

يُحسب كل عنصر من عناصر الناتج كما يلي:

$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 5 + 14 = 19$

$c_{12} = (1)(6) + (2)(8) = 6 + 16 = 22$

$c_{21} = (3)(5) + (4)(7) = 15 + 28 = 43$

$c_{22} = (3)(6) + (4)(8) = 18 + 32 = 50$

وبذلك:

A \cdot B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}

عدم التبادلية

ضرب المصفوفات غير تبادلي؛ أي إن تبديل ترتيب الضرب يغيّر الناتج في الحالة العامة. باستخدام المصفوفتين من المثال السابق:

B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}

فناتج أ·ب يختلف عن ناتج ب·أ، وهذا ما يميّز ضرب المصفوفات جوهرياً عن ضرب الأعداد العادية حيث 3×5 = 5×3 دائماً.

التفسير الهندسي

تُمثّل المصفوفة المربعة تحويلاً خطياً للفضاء: دوران أو تمدد أو انعكاس أو قص. وعند حساب أ·ب، يُجرى تركيب التحويلَين: يُطبَّق تحويل ب على المتجهات أولاً، ثم يُطبَّق تحويل أ على النتيجة. والناتج هو مصفوفة واحدة تُنجز كلا التحويلَين دفعةً واحدة.

ويترتب على هذا التفسير أن ضرب المصفوفات تجميعي — أي (أ·ب)·ج = أ·(ب·ج) — لأن تركيب التحويلات لا يتأثر بطريقة تجميعها، لكنه يتأثر بترتيبها.

المصفوفة الوحدة

المصفوفة الوحدة (ن×ن) هي المصفوفة التي تحتوي على الأعداد 1 على قطرها الرئيسي وأصفار في كل مكان آخر. تؤدي دور "العنصر المحايد" في ضرب المصفوفات:

$A \cdot I = I \cdot A = A$

وهندسياً، تُمثّل مصفوفة الوحدة التحويل الذي يُبقي المتجهات دون تغيير — لا دوران، ولا تمدد، ولا أي أثر آخر.

تطبيقات ضرب المصفوفات

يظهر ضرب المصفوفات في كل حالة تُسلسَل فيها تحويلات خطية متعددة:

الرسوميات ثلاثية الأبعاد: يُشفَّر كل تحويل هندسي — دوران أو تحجيم أو انتقال — في مصفوفة 4×4 باستخدام الإحداثيات المتجانسة. يُضرب هذه المصفوفات معاً مرة واحدة للحصول على مصفوفة مركّبة، تُطبَّق بعدها على كل نقطة من نقاط الجسم المرسوم. ولهذا السبب صُمِّمت وحدات معالجة الرسوميات (GPU) لتسريع عمليات ضرب المصفوفات.
أنظمة المعادلات الخطية: يمكن كتابة منظومة من المعادلات الخطية في الصورة أ·س = ب، حيث تُعبّر المصفوفة أ عن معاملات المجهولات. يُعادل حل هذه المنظومة إيجاد معكوس المصفوفة أ ثم حساب أ⁻¹·ب.
الشبكات العصبية: تُطبّق كل طبقة في الشبكة العصبية متعددة الطبقات ضرب مصفوفة المعاملات في متجه المدخلات، ثم تُضاف قيم الانحياز. تُشكّل هذه العملية جوهر التعلم الآلي العميق وتُنفَّذ على وحدات GPU المتخصصة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

هل ضرب المصفوفات عملية تبادلية؟

لا، ضرب المصفوفات ليس تبادلياً في الحالة العامة؛ أي إن أ·ب لا تساوي ب·أ بالضرورة. فمثلاً، إذا كانت أ = [[1,2],[3,4]] و ب = [[5,6],[7,8]]، فإن أ·ب = [[19,22],[43,50]] بينما ب·أ = [[23,34],[31,46]]. تُعدّ المصفوفة الوحدة والمصفوفات القطرية من الحالات الاستثنائية التي يتحقق فيها التبادل، وليس هذا هو الوضع العام.

ما المعنى الهندسي لضرب المصفوفات؟

تُمثّل كل مصفوفة تحويلاً خطياً للفضاء، كالدوران والانعكاس والتمدد والقص. ويُعبّر حاصل الضرب أ·ب عن تركيب التحويلَين: يُطبَّق تحويل ب أولاً ثم تحويل أ. ويختلف الناتج باختلاف الترتيب، إذ إن تطبيق الدوران قبل القص يعطي نتيجة مغايرة لتطبيق القص قبل الدوران.

هل يمكن ضرب مصفوفات غير مربعة؟

نعم، شريطة أن يتساوى عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية. فحاصل ضرب مصفوفة بأبعاد م×ن في مصفوفة بأبعاد ن×ص ينتج مصفوفة بأبعاد م×ص. تقتصر هذه الحاسبة على المصفوفات المربعة بحجمَي 2×2 و 3×3، وهي الأكثر شيوعاً في مقررات الجبر الخطي والرسوميات الحاسوبية.

كيف يُوظَّف ضرب المصفوفات في الرسوميات ثلاثية الأبعاد؟

في بيئات الرسوميات ثلاثية الأبعاد، يُشفَّر كل تحويل هندسي — دوران أو تحجيم أو انتقال — في مصفوفة 4×4 باستخدام الإحداثيات المتجانسة. وعند تطبيق سلسلة من التحويلات على جسم ما، يُضرب كل المصفوفات مرة واحدة للحصول على مصفوفة مركّبة واحدة، تُطبَّق بعدها على كل نقطة من نقاط الجسم. وهذا بالضبط ما صُمِّمت وحدات معالجة الرسوميات (GPU) لتسريعه.

التالي الموصى به

حاسبة الضرب النقطي للمتجهات

احسب الضرب النقطي لمتجهين n-بعديين، والزاوية بينهما، وجيب تمام الزاوية، ومقداريهما — مع خطوات اشتقاق تفصيلية. أدخل المركبات مفصولة بفواصل.

اعرف المزيد

حل نظام معادلتين بمجهولين — قاعدة كرامر

احسب حل نظام معادلتين خطيتين بمجهولين باستخدام قاعدة كرامر. أدخل المعاملات الستة للحصول على x وy والمحدد خطوة بخطوة.

اعرف المزيد

حاسبة الضرب الاتجاهي (متجهات ثلاثية الأبعاد)

احسب ضرب المتجهات (الضرب الاتجاهي) لمتجهين ثلاثيين — المركبات، المقدار، ومساحة متوازي الأضلاع — باستخدام طريقة المحدد مع خطوات حل تفصيلية.

اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

مدعوم من OneCalc ↗