آخر تحديث: 2026-05-18

ما هو متوازي المستطيلات؟

متوازي المستطيلات — ويُعرف أيضًا بالقُبّة أو الصندوق — شكل ثلاثي الأبعاد له ستة أوجه مستطيلة. جميع زواياه قوائم، والأوجه المتقابلة متطابقة. تحسب هذه الأداة الحجمَ والمساحة الكلية ومساحات الأوجه المنفردة والقطرَ الفضائي انطلاقًا من ثلاثة أبعاد.

الصيغ الرياضية

بمعلومية الطول $l$ والعرض $w$ والارتفاع $h$:

الحجم — مقدار الفراغ الداخلي:

$$V = l \times w \times h$$

المساحة الكلية — مجموع مساحات الأوجه الستة:

$$S = 2(lw + lh + wh)$$

تتوزع الأوجه الستة في ثلاثة أزواج متطابقة:

زوج الأوجه	الصيغة
الوجه العلوي والسفلي	$l \times w$
الوجه الأمامي والخلفي	$l \times h$
الوجه الأيسر والأيمن	$w \times h$

القطر الفضائي — أطول مستقيم يصل بين رأسَين متقابلَين:

$$d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$$

هذه امتداد ثلاثي الأبعاد لنظرية فيثاغورس.

مثال محلول

صندوق شحن قياسي يُستخدم لدى شركات الشحن الخليجية يبلغ قياسه 40 سم × 30 سم × 20 سم.

الحجم: $V = 40 \times 30 \times 20 = 24\,000 \text{ سم}^3 = 24 \text{ لتر}$

المساحة الكلية: $S = 2(40 \times 30 + 40 \times 20 + 30 \times 20) = 2(1200 + 800 + 600) = 5200 \text{ سم}^2$

يلزم نحو 5200 سم² من الكرتون لصنع هذا الصندوق (دون احتساب الطيات والتداخلات).

القطر الفضائي: $d = \sqrt{40^2 + 30^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 900 + 400} = \sqrt{2900} \approx 53.9 \text{ سم}$

أقصى طول لجسم يمكن إدخاله بصورة قطرية داخل هذا الصندوق نحو 53.9 سم.

اشتقاق صيغة المساحة الكلية

لكل متوازي مستطيلات ستة أوجه بالضبط. بتجميع الأوجه المتقابلة في أزواج:

• وجهان مساحة كل منهما $lw$ ← يُسهمان بـ $2lw$
• وجهان مساحة كل منهما $lh$ ← يُسهمان بـ $2lh$
• وجهان مساحة كل منهما $wh$ ← يُسهمان بـ $2wh$

المجموع: $S = 2lw + 2lh + 2wh = 2(lw + lh + wh)$

تطبيقات عملية

الشحن واللوجستيات — يحدد الحجم عدد الوحدات التي تُحشى في حاوية، وتحدد المساحة كمية مواد التغليف. تعتمد كبرى شركات اللوجستيات في المنطقة العربية، كأرامكس وDHL عربية وسمسا، على الحجم لاحتساب الأجور.

أحواض السمك — يعطي الحجم طاقة المياه، وتمثل المساحة الكلية مساحة الزجاج. حوض أبعاده 60 سم × 30 سم × 36 سم يسع $60 \times 30 \times 36 = 64\,800 \text{ سم}^3 = 64.8 \text{ لتر}$ من الماء.

البناء والنجارة — الكمرة الخشبية متوازي مستطيلات؛ حجمها (بالمتر المكعب) مضروبًا في الكثافة يُعطي الكتلة. مساحات الأوجه تُساعد في تقدير كميات الطلاء أو الورنيش.

أبعاد الغرف — حجم الغرفة يحكم أحمال التدفئة والتبريد؛ مساحة الأرضية ($l \times w$) تُحدد كميات البلاط أو الباركيه.

متوازي المستطيلات مقابل المكعب

المكعب هو الحالة الخاصة التي يكون فيها $l = w = h$. تبسّط الصيغ إلى $V = l^3$ و $S = 6l^2$. كل مكعب هو متوازي مستطيلات، لكن معظم متوازيات المستطيلات ليست مكعبات.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو قانون حجم متوازي المستطيلات؟

حجم المتوازي القائم يُحسب بالقانون: ح = ط × ع × ار (الطول × العرض × الارتفاع). لصندوق مقاساته 38 سم × 28 سم × 22 سم: ح = 38 × 28 × 22 = 23,408 سم³ ≈ 23.4 لتر. يجب أن تكون الأبعاد الثلاثة بالوحدة نفسها.

كيف أحسب مساحة سطح الصندوق المستطيل؟

مساحة السطح الكلية = 2(ط×ع + ط×ار + ع×ار). يتكون المتوازي القائم من ثلاثة أزواج من المستطيلات المتطابقة: الوجه العلوي والسفلي (ط×ع)، والأمامي والخلفي (ط×ار)، والجانبيان (ع×ار). لصندوق 30×20×15 سم: المساحة = 2(600+450+300) = 2700 سم².

ما هو القطر الفضائي لمتوازي المستطيلات؟

القطر الفضائي هو أطول مقطع مستقيم داخل الجسم يصل بين رأسين متقابلين، وطوله د = √(ط² + ع² + ار²). هذا امتداد لنظرية فيثاغورث إلى الفضاء الثلاثي الأبعاد. لصندوق 30×20×15 سم: د = √(900+400+225) = √1525 ≈ 39.1 سم.

ما الفرق بين مكعب ومتوازي المستطيلات؟

المكعب هو حالة خاصة من متوازي المستطيلات تتساوى فيه الأبعاد الثلاثة (ط = ع = ار = أ)، فتُصبح الصيغ: الحجم = أ³ والمساحة = 6أ². أي متوازي مستطيلات يختلف فيه بُعدان على الأقل لا يُعدّ مكعباً.