آخر تحديث: 2026-06-06

ما هو جذع الهرم؟

جذع الهرم — ويُعرف أيضاً بالهرم الناقص أو المقطوع — هو الجسم الهندسي الناتج عن قطع هرم بمستوٍ موازٍ لقاعدته وإزالة الجزء العلوي.

يمتلك قاعدتين متعدّدتَي الأضلاع ومتوازيتين: قاعدة كبرى بمساحة A₁ وقاعدة صغرى بمساحة A₂، يصلهما أوجه جانبية شبه منحرفة وارتفاع h يُقاس عمودياً بين القاعدتين.

يقبل جذع الهرم أي شكل متعدد الأضلاع — مربع أو مستطيل أو مثلث أو سداسي أو غيرها — شريطة أن تكون القاعدتان متشابهتَي الشكل ومختلفتَي الحجم.

القانون الرياضي

يُحسب حجم جذع الهرم وفق صيغة البريسماتويد:

$V = \frac{h}{3}\!\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$

حيث A₁ مساحة القاعدة السفلى، وA₂ مساحة القاعدة العليا، وh الارتفاع العمودي بين القاعدتين.

تتألف الصيغة من ثلاثة حدود — A₁ وA₂ و√(A₁A₂) — تمثّل على التوالي القاعدة السفلى والقاعدة العليا ومتوسطهما الهندسي، وكل منها مضروب بالتساوي في h/3.

لماذا ثلاثة حدود؟

يتّضح أصل الصيغة من خلال إنشاء الهرم الكامل ثم طرح القسم المُزال.

افترض هرماً كاملاً ارتفاعه الكلي H فوق القاعدة السفلى بمساحة A₁. الهرم الصغير المقطوع من الأعلى ارتفاعه (H − h) ومساحة قاعدته A₂. بموجب قانون الأجسام المتشابهة، تتناسب المساحات مع مربع نسبة الأبعاد الخطية:

$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{H - h}{H}\right)^2$

بحل H وتعويضه في فرق الحجمين:

$V = \frac{A_1 H}{3} - \frac{A_2 (H - h)}{3}$

بعد حذف H جبرياً وتبسيط التعبير يُختزل التعبير تماماً إلى صيغة الحدود الثلاثة. يظهر الوسط الهندسي √(A₁A₂) لأنه يعادل مساحة المقطع العرضي عند منتصف الارتفاع حين يُمتد الهرم إلى قمته الاصطناعية.

الحالتان الحدّيتان

حالتان خاصتان تُشكّلان اختباراً للتحقق من أي حساب:

الهرم الكامل (A₂ = 0): تصبح الصيغة V = A₁·h/3، وهو القانون المعتاد لحجم الهرم. يختفي حد الوسط الهندسي.

المنشور (A₁ = A₂ = A): تصبح الصيغة V = (h/3)(A + A + A) = A·h، وهو قانون حجم المنشور. هذا يؤكد أن جذع الهرم ذا القاعدتين المتساويتين ليس إلا منشوراً.

مثال محلول

حوض زهور خرساني قاعدته السفلى مربعة 30 سم × 30 سم وفتحته العلوية مربعة 20 سم × 20 سم وارتفاعه 25 سم.

• A₁ = 30 × 30 = 900 سم²
• A₂ = 20 × 20 = 400 سم²
• √(A₁·A₂) = √(900 × 400) = √360,000 = 600 سم²
• V = (25/3)(900 + 400 + 600) = (25/3) × 1,900 ≈ 15,833 سم³ ≈ 15.8 لتراً

يتّسع الحوض لنحو 15.8 لتراً من التربة — ما يعادل تقريباً كيس التربة المعتاد بسعة 15 لتراً.

إدخال المساحات مباشرةً

تعتمد هذه الحاسبة على إدخال مساحة القاعدة مباشرةً بدلاً من أطوال الأضلاع. هذا النهج يجعل القانون عاماً لجميع أشكال القواعد: أدخل مساحة قاعدة سداسية أو مثلثية أو أي مضلع آخر دون الحاجة إلى صيغة منفصلة لكل شكل.

• للهرم مربع القاعدة بضلع طوله s: أدخل A = s²
• للهرم السداسي المنتظم بضلع طوله a: أدخل A = (3√3/2)a²
• للمنشور الدائري (المخروط الناقص): أدخل A = πr²

حاسبات ذات صلة

• حاسبة الهرم — حجم الهرم الكامل ومساحاته الجانبية والكلية
• حاسبة جذع المخروط (المخروط الناقص) — حجم المخروط الناقص (جذع المخروط) ومساحاته
• حاسبة المتوازي القائم (الشكل الصندوقي) — حجم المتوازي المستطيل (الحالة الخاصة A₁ = A₂)