حاسبة الهرم

احسب حجم الهرم المستطيل القاعدة ومساحة القاعدة والارتفاع المائل والمساحة الجانبية والمساحة الكلية. أدخل الطول والعرض والارتفاع.

المدخلات

رسم الهرمهرم مستطيل القاعدة يوضح طول القاعدة l، وعرض القاعدة w، والارتفاع العمودي h من مركز القاعدة إلى الرأس، والارتفاع المائل l_s للوجه الأمامي.lwhlₛ

النتائج

\begin{aligned} V &= \tfrac{1}{3} A_b h \\ &= \tfrac{1}{3} (?\,\text{m²}) (30\,\text{سم}) \\ &= ?\,\text{m³} \end{aligned}
\begin{aligned} A_b &= l \times w \\ &= (40\,\text{سم}) \times (40\,\text{سم}) \\ &= ?\,\text{m²} \end{aligned}
\begin{aligned} l_s &= \sqrt{h^2 + (w/2)^2} \\ &= \sqrt{(30\,\text{سم})^2 + (40\,\text{سم}/2)^2} \\ &= ?\,\text{م} \end{aligned}
\begin{aligned} A_{lat} &= l\sqrt{h^2 + (w/2)^2} + w\sqrt{h^2 + (l/2)^2} \\ &= (40\,\text{سم})\sqrt{(30\,\text{سم})^2 + (40\,\text{سم}/2)^2} + (40\,\text{سم})\sqrt{(30\,\text{سم})^2 + (40\,\text{سم}/2)^2} \\ &= ?\,\text{m²} \end{aligned}
\begin{aligned} A_{tot} &= A_b + A_{lat} \\ &= ?\,\text{m²} + ?\,\text{m²} \\ &= ?\,\text{m²} \end{aligned}

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

ما هو الهرم؟

الهرم جسم هندسي ثلاثي الأبعاد تكون قاعدته شكلًا متعدد الأضلاع، وأوجهه الجانبية مثلثات تلتقي جميعها في نقطة واحدة تُسمى القمة أو الرأس. تختص هذه الحاسبة بالأهرامات القائمة ذات القاعدة المستطيلة، وتُعدّ القاعدة المربعة حالة خاصة منها. أدخل أبعاد القاعدة والارتفاع للحصول على جميع القيم دفعة واحدة.

الصيغ الرياضية

بفرض طول القاعدة ll، وعرضها ww، والارتفاع الرأسي hh:

مساحة القاعدة:

Ab=l×wA_b = l \times w

الحجم — يساوي ثلث حجم المنشور ذي القاعدة والارتفاع نفسيهما:

V=13×Ab×h=l×w×h3V = \frac{1}{3} \times A_b \times h = \frac{l \times w \times h}{3}

الارتفاع المائل — المسافة من القمة إلى منتصف ضلع القاعدة مقيسةً على طول الوجه المثلثي. للهرم المستطيل القاعدة، يختلف الارتفاع المائل بين الوجهين الأماميين/الخلفيين والوجهين الجانبيين:

ls,w=h2+(w2)2(الوجه الأمامي/الخلفي)l_{s,w} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2} \quad \text{(الوجه الأمامي/الخلفي)} ls,l=h2+(l2)2(الوجه الأيسر/الأيمن)l_{s,l} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2} \quad \text{(الوجه الأيسر/الأيمن)}

للهرم المربع القاعدة (l=w=al = w = a) يتساوى الارتفاعان المائلان: ls=h2+(a/2)2l_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}

المساحة الجانبية — مجموع مساحات الأوجه المثلثية الأربعة:

Alat=l⋅ls,w+w⋅ls,lA_{lat} = l \cdot l_{s,w} + w \cdot l_{s,l}

المساحة الكلية:

Atot=Ab+AlatA_{tot} = A_b + A_{lat}

معامل الثلث في حجم الهرم

عُرف منذ العصور القديمة أن حجم الهرم يساوي ثلث حجم المنشور ذي القاعدة والارتفاع المساويين له. يقدم البرهان الكلاسيكي ثلاثة أهرامات مربعة متطابقة تُجمَع لتكوّن مكعبًا واحدًا، وكل هرم يشغل 13\frac{1}{3} من حجم المكعب. أما البرهان العام فيعتمد على مبدأ كافاليري: المقطع العرضي على الارتفاع zz تكون مساحته Ab×(1−z/h)2A_b \times (1 - z/h)^2، ويُعطي التكامل من $0$ إلى hh القيمة 13Abh\frac{1}{3} A_b h.

الارتفاع المائل مقابل الارتفاع الرأسي

الارتفاع الرأسي hh هو المسافة العمودية من القمة إلى مستوى القاعدة. أما الارتفاع المائل lsl_s فهو المسافة من القمة إلى منتصف ضلع القاعدة مقيسةً على سطح الوجه المثلثي، وهو يمثل ارتفاع الوجه المثلثي ذاته. تربطهما علاقة المثلث القائم: ls=h2+r2l_s = \sqrt{h^2 + r^2}، حيث rr هي المسافة من مركز القاعدة إلى منتصف الضلع المقابل.

عمليًا، الارتفاع المائل هو المسافة التي تُقاس بمسطرة توضع على وجه الهرم من القمة حتى منتصف الضلع السفلي.

مثال تطبيقي: الهرم الأكبر بالجيزة

الهرم الأكبر (خوفو) بالجيزة مثال حسابي موثق الأبعاد: قاعدته المربعة نحو 230.4 م، وارتفاعه الأصلي نحو 146.5 م.

مساحة القاعدة: Ab=230.42=53,084 م2≈5.3 هكتارA_b = 230.4^2 = 53{,}084 \text{ م}^2 \approx 5.3 \text{ هكتار}

الحجم: V=13×53,084×146.5≈2,592,000 م3V = \frac{1}{3} \times 53{,}084 \times 146.5 \approx 2{,}592{,}000 \text{ م}^3

أي نحو 2.6 مليون متر مكعب، يعادل ما يملأ نحو 1,000 حوض سباحة أولمبي.

الارتفاع المائل: ls=146.52+115.22≈186.4 مl_s = \sqrt{146.5^2 + 115.2^2} \approx 186.4 \text{ م}

المساحة الجانبية: Alat≈85,893 م2≈8.6 هكتارA_{lat} \approx 85{,}893 \text{ م}^2 \approx 8.6 \text{ هكتار}

تُوضح هذه الأرقام حجم المواد المستخدمة والتحديات الهندسية التي اقتضت التخطيط الدقيق للأبعاد.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو قانون حجم الهرم؟

حجم الهرم = (1/3) × مساحة القاعدة × الارتفاع. للقاعدة المستطيلة: V = (1/3) × l × w × h. هرم مربع القاعدة بأبعاد 40 سم × 40 سم وارتفاع 30 سم: V = (1/3) × 0.16 × 0.30 ≈ 0.016 م³ = 16 لتراً.

لماذا يحتوي قانون حجم الهرم على 1/3؟

أي هرم يساوي ثلث حجم المنشور ذي القاعدة والارتفاع نفسيهما. يُثبت ذلك بتقسيم مكعب إلى ثلاثة أهرامات متطابقة. ويعمم مبدأ كافالييري هذه النتيجة: تتناقص المقطع العرضي تناقصاً تربيعياً مع الارتفاع، فيؤدي التكامل إلى العامل 1/3.

كيف أحسب الارتفاع المائل للهرم؟

الارتفاع المائل هو المسافة من القمة إلى منتصف ضلع القاعدة — أي ارتفاع كل وجه مثلثي. للوجهين الأمامي والخلفي: l_s = √(h² + (w/2)²). للهرم مربع القاعدة (l = w = a): l_s = √(h² + (a/2)²). بقاعدة 40 × 40 سم وارتفاع 30 سم: l_s = √(0.09 + 0.04) ≈ 36.1 سم.

كيف أحسب المساحة الكلية للهرم مربع القاعدة؟

المساحة الكلية = مساحة القاعدة + المساحة الجانبية = a² + 2 × a × l_s. مجموع مساحات الأوجه الأربعة المثلثية = 2al_s. بـ a = 40 سم و l_s ≈ 36.1 سم: S = 1600 + 2 × 40 × 36.1 ≈ 4488 سم².

التالي الموصى به

حاسبة حجم المخروط ومساحة سطحه

احسب حجم المخروط القائم ومولّده ومساحته الجانبية والكلية. أدخل نصف قطر القاعدة والارتفاع.

 اعرف المزيد
حاسبة المتوازي القائم (الشكل الصندوقي)

احسب حجم المتوازي القائم ومساحة سطحه ومساحات وجوهه والقطر الفضائي من الطول والعرض والارتفاع.

 اعرف المزيد
حاسبة حجم الأسطوانة ومساحة سطحها

احسب حجم الأسطوانة الدائرية القائمة ومساحتها الجانبية وإجمالي مساحة سطحها. أدخل نصف قطر القاعدة والارتفاع.

 اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗