آخر تحديث: 2026-05-19

نظام المعادلتين الخطيتين بمجهولين

نظام المعادلات الخطية بمجهولين هو مجموعة معادلتين تحتويان على مجهولين اثنين (x وy)، ويُكتب في الصورة:

بإدخال المعاملات الستة (a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂)، تُطبَّق قاعدة كرامر لإيجاد قيمتَي x وy، أو يُكشَف ما إذا كان النظام لا يملك حلاً أو يملك حلولاً لا نهائية. تُعرض جميع الخطوات الوسيطة على الشاشة.

قاعدة كرامر

تبدأ الخطوة الأولى بحساب محدد مصفوفة المعاملات:

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

حين يكون D ≠ 0، يكون الحل الوحيد للنظام:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

كل بسط هو محدد المصفوفة الناتجة باستبدال عمود المعاملات بمتجه الحدود المستقلة، وهو ما يُمثّل التفصيل المكوّني لصيغة $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.

المعنى الهندسي

كل معادلة من الصورة $ax + by = c$ تمثّل مستقيماً في المستوى xy. وحل النظام يعني إيجاد نقطة تقاطع المستقيمين.

• D ≠ 0 (حل وحيد): يتقاطع المستقيمان في نقطة واحدة، ومصفوفة المعاملات قابلة للعكس.
• D = 0 والبسطان كلاهما صفر (حلول لا نهائية): المستقيمان متطابقان — إحدى المعادلتين مضاعف للأخرى — وكل نقطة على المستقيم تحقق النظام.
• D = 0 وأحد البسطين غير صفري (لا يوجد حل): المستقيمان متوازيان ولا يلتقيان، فلا يوجد أي زوج (x, y) يحقق المعادلتين معاً.

مثال محلول

نحلّ النظام المُعيَّن افتراضياً:

$2x + 3y = 8 \quad \text{و} \quad x - y = 1$

الخطوة الأولى — حساب المحدد:

$\mathit{D} = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

بما أن D ≠ 0، للنظام حل وحيد.

الخطوة الثانية — حساب x:

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2.2$

الخطوة الثالثة — حساب y:

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1.2$

التحقق:

$2 \times 2.2 + 3 \times 1.2 = 4.4 + 3.6 = 8 \checkmark \quad \text{و} \quad 2.2 - 1.2 = 1 \checkmark$

حين يساوي المحدد الصفر

إذا كان D = 0، فصفّا مصفوفة المعاملات متناسبان: $[a_1, b_1] = k[a_2, b_2]$. يحدد الطرف الأيمن حينئذٍ طبيعة النظام:

• إذا كان $c_1 = kc_2$، فكلا البسطين صفر ← حلول لا نهائية.
• إذا كان $c_1 \neq kc_2$، فأحد البسطين على الأقل غير صفري ← لا يوجد حل.

عملياً، يكفي حساب البسطين $c_1 b_2 - c_2 b_1$ و $a_1 c_2 - a_2 c_1$: إن كانا كلاهما صفراً مع D = 0 فالنظام يملك حلولاً لا نهائية، وإلا فلا يملك حلاً.