آخر تحديث: 2026-07-01

حساب الأعداد المركّبة

يجمع العدد المركّب بين جزء حقيقي وجزء تخيّلي في كمية واحدة، يُكتب على الصورة a + bi، حيث i هي الوحدة التخيّلية المعرّفة بـ i² = −1. العدد a هو الجزء الحقيقي و b هو معامل الجزء التخيّلي. تأخذ هذه الحاسبة عددين مركّبين، z₁ = a + bi و z₂ = c + di، وتطبّق العملية التي تختارها — جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة — ثم تعرض النتيجة مع مقياسها وسعتها.

تمدّ الأعداد المركّبة خط الأعداد الحقيقية إلى مستوٍ ثنائي الأبعاد، مما يجعلها لا غنى عنها في الهندسة الكهربائية ومعالجة الإشارات ونظرية التحكّم وميكانيكا الكمّ.

العمليات الأربع

يتم الجمع والطرح مكوّناً بمكوّن، تماماً كجمع المتجهات:

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

يُنشر الضرب كحدّين ذوي حدّين، وباستخدام i² = −1 يعود الحد i² إلى الجزء الحقيقي:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i

تضرب القسمة البسط والمقام في مرافق المقام c − di. وهذا يزيل الجزء التخيّلي من المقام ويبقي القيمة الحقيقية c² + d²:

z₁ / z₂ = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

القسمة معرّفة لكل z₂ عدا 0 + 0i، حيث يكون c² + d² = 0.

مثال محلول

المسألة: اضرب z₁ = 3 + 4i في z₂ = 1 + 2i.

باستخدام قاعدة الضرب حيث a = 3 و b = 4 و c = 1 و d = 2:

• الجزء الحقيقي: ac − bd = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5
• الجزء التخيّلي: ad + bc = (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10

إذن z₁ z₂ = −5 + 10i.

مقياس النتيجة هو √((−5)² + 10²) = √125 ≈ 11.18، وسعتها هي atan2(10, −5) ≈ 116.57°، وتقع في الربع الثاني لأن الجزء الحقيقي سالب والجزء التخيّلي موجب.

المقياس والسعة

يقابل كل عدد مركّب نقطة في المستوى، حيث يقع الجزء الحقيقي على المحور الأفقي والجزء التخيّلي على المحور الرأسي. تصف هذه النقطةَ كميّتان قطبيتان:

• المقياس r = √(x² + y²) هو المسافة عن نقطة الأصل، ويقيس حجم العدد.
• السعة φ هي الزاوية المقيسة من محور الأعداد الحقيقية الموجب. تضع دالة الظل العكسي بمتغيّرين، φ = atan2(y, x)، الزاوية في الربع الصحيح وتُرجع قيمة بين −180° و 180° (أو بين −π و π بالراديان).

الصورة الجبرية مقابل الصورة القطبية

تعطي الصورة الجبرية، x + yi، الإحداثيّين الأفقي والرأسي مباشرة. أما الصورة القطبية، r(cos φ + i sin φ)، فتستخدم المسافة والزاوية بدلاً من ذلك. تصف الصورتان العدد نفسه، والاختيار بينهما مسألة ملاءمة.

الجمع والطرح أبسط في الصورة الجبرية، لأن الأجزاء تتجمّع بشكل مستقل. أما الضرب والقسمة والقوى فأبسط في الصورة القطبية: تُضرب المقاييس أو تُقسم بينما تُجمع السعات أو تُطرح. وتبني مبرهنة دي موافر على ذلك مباشرة، فتحوّل المهمة الشاقة المتمثّلة في رفع عدد مركّب إلى قوة إلى عملية ضرب واحدة للسعة.