آخر تحديث: 2026-06-23

اختبار حسن المطابقة لمربع كاي

اختبار حسن المطابقة بمربع كاي يطرح سؤالًا واحدًا: هل تطابق مجموعة من التكرارات المشاهَدة للفئات التكرارات التي تتنبأ بها فرضية ما؟ وهو الأداة المعيارية لمقارنة عينة فئوية واحدة بتوزيع نظري — كالتحقق مما إذا كان النرد عادلًا، أو ما إذا كانت التهجينات الوراثية تتبع نسبة 9:3:3:1، أو ما إذا كانت ألوان الحلوى في كيس تظهر بالنسب المعلنة. تُدخَل التكرارات المرصودة فعليًا في كل فئة والتكرارات المتوقعة وفق الفرضية الصفرية، فيُعيد الاختبار إحصاءةً ودرجات حريتها وقيمة احتمالية.

الإحصاءة

يُلخّص الاختبار الفجوة بين المشاهدة والتوقع بإحصاءة بيرسون

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

حيث $O_i$ هو التكرار المشاهَد في الفئة $i$، و$E_i$ هو التكرار المتوقع، و$k$ عدد الفئات. ويقيس كل حد مقدار ابتعاد فئة عن تنبئها. ويُربّع الانحراف كي تُحسب الزيادات والنواقص جميعها أدلةً ضد الفرضية بدل أن يلغي بعضها بعضًا، وكي تَزِن الفجوات الأكبر في القيمة المطلقة وزنًا أثقل. والقسمة على $E_i$ تُسوّي كل انحراف مربّع: ففرقُ عشرة تكرارات تباينٌ خطير حين يُتوقع خمسة فقط، لكنه ضئيل حين يُتوقع خمسة آلاف، والقسمة على التكرار المتوقع تضع كل فئة على مقياس قابل للمقارنة. ويعطي الجمع عبر الفئات رقمًا واحدًا يكبر كلما ابتعدت البيانات عن الفرضية. وحين تساوي التكرارات المشاهَدة التكرارات المتوقعة تمامًا، يكون كل حد صفرًا ويصبح $\chi^2 = 0$.

درجات الحرية والقيمة الاحتمالية

تُقارن الإحصاءة بتوزيع مربع كاي الذي يتحدد شكله بدرجات حريته. وفي اختبار حسن المطابقة البسيط،

$\text{df} = k - 1$

تُنفَق درجة حرية واحدة لأن تكرارات الفئات يجب أن يكون مجموعها إجماليًا معلومًا: فبمجرد تثبيت التكرارات الأولى k − 1 يتحدد الأخير، فلا يبقى حرًّا في التغير سوى k − 1 منها. (وإذا قُدّر التوزيع المتوقع نفسه من البيانات بمعالم إضافية، تُطرح درجة حرية أخرى عن كل معلمة مقدَّرة.)

والقيمة الاحتمالية هي احتمال الذيل الأعلى — أي احتمال رؤية إحصاءة لا تقل عن الإحصاءة المشاهَدة لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة. واختبار حسن المطابقة بطبيعته اختبار أحادي الجانب من ناحية الذيل الأعلى: فالقيم الكبيرة وحدها من $\chi^2$ تشير إلى رداءة المطابقة، أما القيم الصغيرة فتعني أن البيانات قريبة من التنبؤ. وتُقارن القيمة الاحتمالية بمستوى دلالة $\alpha$ (وهو خمسة بالمئة عادةً). فحين يكون $p < \alpha$، يكون التباين أكبر مما يفسّره ضجيج العينة بارتياح، فتُرفض الفرضية القائلة بأن البيانات تتبع التوزيع المتوقع. وحين يكون $p \ge \alpha$، تكون البيانات متسقة مع الفرضية — وهو أمر يختلف عن إثبات صحتها.

مثال محلول

لنفترض أن متجرًا يتوقع أن تتعامل ممرات الدفع الثلاثة فيه مع الزبائن بنسبة 40:40:20 عبر 100 زبون، ثم سجّل في إحدى الأمسيات 50 و30 و20 زبونًا. فالتكرارات المتوقعة هي 40 و40 و20. ومن ثَمّ

ومع ثلاث فئات يكون للاختبار درجتا حرية. والقيمة الاحتمالية للذيل الأعلى عند $\chi^2 = 5$ بدرجتي حرية تساوي نحو $0.082 \approx p$. وبما أن $p \gt 0.05$، فإن التوزيع المشاهَد متسق مع التوزيع المتوقع 40:40:20 عند مستوى 5 ٪: فعدم التوازن الظاهر بين الممرين الأولين يقع ضمن التباين العادي للعينة.

الافتراضات

يقوم تقريب مربع كاي على شروط قليلة. فالتكرارات المتوقعة ينبغي أن تكون كبيرة بدرجة معقولة — وتشترط قاعدة عامة شائعة ألا يقل أي تكرار متوقع عن 5؛ فإذا قلّ عدد منها، تُدمج الفئات النادرة أو يُستعمل اختبار مضبوط بدلًا من ذلك. ويجب أن تكون المشاهدات مستقلة، بحيث تقع كل وحدة في فئة واحدة بالضبط. ويعمل الاختبار على التكرارات الخام لا على النسب المئوية أو النسب: فإذا صيغت الفرضية بصيغة نسب، يُضرب كل منها في حجم العينة الكلي للحصول على التكرارات المتوقعة قبل إجراء الاختبار، ويُتأكَّد من أن مجموع التكرارات المتوقعة يساوي مجموع التكرارات المشاهَدة نفسه.

ولمقارنة متوسطي مجموعتين بدلًا من التكرارات الفئوية، انظر حاسبة اختبار t لعينتين (ويلش)؛ ولتحويل إحصاءة z إلى احتمال ذيلي، انظر حاسبة القيمة الاحتمالية من الدرجة المعيارية z.