آخر تحديث: 2026-06-04

تعريف المتتالية الهندسية

المتتالية الهندسية متتالية من الأعداد يُحصل على كل حد فيها بضرب الحد السابق في عدد ثابت يُسمى النسبة الثابتة (r)، وأول هذه الحدود يُسمى الحد الأول (a₁). تأخذ المتتالية الصورة العامة:

$$a_1,\quad a_1 r,\quad a_1 r^2,\quad a_1 r^3,\quad \ldots$$

مثال: 2، 6، 18، 54، … (a₁ = 2، r = 3). تحسب هذه الأداة الحد n (aₙ)، ومجموع أول n حد (Sₙ)، والمجموع اللانهائي (S∞) حين تتحقق شروط التقارب.

قانون الحد العام

الحد n في المتتالية الهندسية هو:

$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$

لماذا؟ للانتقال من a₁ إلى aₙ يُضرب في r مقدار (n − 1) مرة، فيُرفع r إلى الأس (n − 1).

مثال تطبيقي. إذا كان a₁ = 3 وr = 2، فالحد الخامس هو:

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

قانون المجموع الجزئي

مجموع أول n حد في المتتالية الهندسية هو:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \qquad (r \neq 1)$$

الاستنتاج. إذا كتبنا Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹، وضربنا طرفي المعادلة في r، ثم طرحنا الناتج من الأصل، تُلغى جميع الحدود الوسطى ونحصل على: Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ)، ومنها ينشأ القانون أعلاه.

عندما r = 1 تتساوى جميع الحدود مع a₁، فيصبح المجموع:

$$S_n = n \cdot a_1 \qquad (r = 1)$$

مثال تطبيقي. بـ a₁ = 5 وr = 3، مجموع أول 4 حدود هو:

$$S_4 = 5 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 5 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 5 \cdot \frac{-80}{-2} = 200$$

التحقق المباشر: 5 + 15 + 45 + 135 = 200. ✓

المجموع اللانهائي وشرط التقارب

عندما |r| < 1 تتناقص الحدود نحو الصفر، وتتقارب المجاميع الجزئية إلى حد منته:

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} \qquad (|r| < 1)$$

يُستنتج هذا بأخذ حد القانون الجزئي عندما n → ∞: الحد rⁿ يتلاشى فيبقى a₁ / (1 − r).

جدول ملخص لحالات التقارب والتباعد:

قيمة r	سلوك الحدود	حال المتسلسلة
|r| < 1	تتناقص نحو الصفر	تتقارب إلى a₁ / (1 − r)
r = 1	ثابتة، تساوي a₁	تتباعد (Sₙ = n·a₁)
r = −1	تتذبذب بين a₁ و −a₁	تتباعد (تذبذب دائم)
|r| > 1	تتزايد في المقدار بلا حدود	تتباعد

مثال تطبيقي. كرة تسقط من ارتفاع 10 م وترتد في كل مرة إلى 60% من الارتفاع السابق (r = 0.6). المسافة الإجمالية للصعود وحدها تُمثّل متسلسلة هندسية:

$$6 + 3.6 + 2.16 + \ldots = \frac{6}{1 - 0.6} = 15 \text{ م}$$

الصلة بالفائدة المركبة

نمو رأس المال بالفائدة المركبة هو متتالية هندسية. إذا أودع مبلغ P بمعدل فائدة سنوي i مركّب سنوياً، فالرصيد بعد n سنة هو:

$$A_n = P \cdot (1 + i)^n$$

هذه متتالية هندسية بالحد الأول P(1 + i) والنسبة الثابتة (1 + i). وحين تُضاف مساهمات دورية منتظمة (كما في أنظمة الادخار)، يستخدم قانون المجموع الجزئي لحساب القيمة المستقبلية لتلك المساهمات.

مفارقة زينون والمتسلسلة الهندسية

في مفارقة زينون، يقطع المشتري في كل خطوة نصف المسافة المتبقية للعبور عبر غرفة. مجموع هذه الخطوات هو متسلسلة هندسية:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$$

المفارقة — خطوات لا نهائية تُنجز مسافة منتهية — تُحلّ بدقة من خلال مبدأ تقارب المتسلسلة الهندسية حين |r| < 1.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

متى يتقارب المجموع اللانهائي للمتسلسلة الهندسية؟

يتقارب المجموع اللانهائي S∞ = a₁ / (1 − r) إذا وفقط إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة الثابتة أصغر تماماً من 1، أي |r| < 1. عندما |r| ≥ 1 لا تقترب الحدود من الصفر، فتتزايد المجاميع الجزئية بلا حدود، أو تتذبذب بلا توقف كما في حالة r = −1.

ماذا يحدث عندما تكون النسبة الثابتة سالبة؟

النسبة السالبة تجعل إشارة الحدود تتعاقب بين الموجب والسالب. فمثلاً، بـ a₁ = 4 و r = −0.5، تكون المتتالية: 4، −2، 1، −0.5، 0.25، … ولأن |r| = 0.5 < 1، يتقارب المجموع اللانهائي: S∞ = 4 / (1 − (−0.5)) = 4 / 1.5 ≈ 2.667.

ما العلاقة بين المتتالية الهندسية والنمو الأسي؟

كل متتالية هندسية هي دالة أسية تُقيَّم عند مواضع صحيحة: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹. عندما r > 1 تمثل نمواً أسياً كالفائدة المركبة ونمو السكان؛ وعندما 0 < r < 1 تمثل تناقصاً أسياً كالنشاط الإشعاعي وتوزيع الأدوية. نظيرها المستمر هو الدالة f(t) = a · eᵏᵗ.

هل يمكن أن تكون النسبة الثابتة كسراً أو عدداً عشرياً؟

نعم — r يمكن أن يكون أي عدد حقيقي غير صفري، بما فيها الكسور والأعداد العشرية. نسبة 1/2 تُقلّص كل حد إلى نصفه (1، 0.5، 0.25، …)، ونسبة 3/2 تزيد كل حد بمقدار 50% (1، 1.5، 2.25، 3.375، …). القيم التي تسبب إشكالات هي r = 0 (تصبح جميع الحدود بعد الأول صفراً، مما يُخلّ بالقانون المعتاد)، وr = 1 (تتساوى جميع الحدود مع a₁ ويتباعد المجموع اللانهائي).