آخر تحديث: 2026-05-19

تعريف المتوسط المرجّح

المتوسط المرجّح (Weighted Average) هو نوع من المتوسطات يُسهم فيه كل عنصر بما يتناسب مع وزنه النسبي، بدلاً من أن تتساوى جميع القيم كما في المتوسط الحسابي العادي.

تحسب هذه الحاسبة Σ(قيمةᵢ × وزنᵢ) ÷ Σوزنᵢ لما يصل إلى 5 قيم، وتُستخدم في حساب المعدل الدراسي بأوزان مختلفة، وتقييم الاختبارات بنسب متباينة، وحساب عوائد المحافظ الاستثمارية، وتحليل الاستطلاعات المرجّحة.

الصيغة الرياضية

$$\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} v_i w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$$

تُضرب كل قيمة vᵢ في وزنها wᵢ، ثم تُجمَع حاصلات الضرب وتُقسَم على مجموع الأوزان. القيم ذات الأوزان الأكبر تجذب المتوسط نحوها بقوة أكبر.

المتوسط الحسابي العادي هو الحالة الخاصة التي تتساوى فيها جميع الأوزان.

التطبيع التلقائي للأوزان

لا تشترط الصيغة أن تكون الأوزان كسوراً مجموعها 1، أو نسباً مئوية مجموعها 100. إذ تقسم الصيغة تلقائياً على مجموع الأوزان، فتعطي القيم 0.5/0.3/0.2 نفس نتيجة 5/3/2 تماماً. النسب بين الأوزان هي ما يحدد النتيجة، لا مقياسها المطلق.

مثال تطبيقي 1 — حساب المعدل الجامعي (GPA)

طالب درس المقررات التالية في فصل دراسي:

المادة	الدرجة (v)	عدد الساعات (w)	v × w
الرياضيات	3.8	3	11.4
اللغة العربية	3.5	3	10.5
التربية البدنية	4.0	1	4.0
الكيمياء	2.8	3	8.4

مجموع الساعات: 3 + 3 + 1 + 3 = 10 ساعات

المجموع المرجّح: 11.4 + 10.5 + 4.0 + 8.4 = 34.3

المعدل (المتوسط المرجّح): 34.3 ÷ 10 = 3.43

المتوسط الحسابي البسيط: (3.8 + 3.5 + 4.0 + 2.8) ÷ 4 = 3.525. الفرق ناتج عن أن مادة التربية البدنية ساعة واحدة فقط، بينما تحمل الكيمياء 3 ساعات. الترجيح بالساعات يعكس الواقع بدقة أكبر.

مثال تطبيقي 2 — الدرجة النهائية في مقرر دراسي

تتوزع درجات مقرر ما على النحو التالي:

العنصر	الدرجة	الوزن
أعمال الفصل	75	20%
الاختبار النصفي	82	30%
الاختبار النهائي	90	50%

المتوسط المرجّح: (75 × 0.20 + 82 × 0.30 + 90 × 0.50) ÷ 1.00 = (15 + 24.6 + 45) ÷ 1.00 = 84.6 درجة

لأن الأوزان مجموعها 1، يساوي المقام 1 والمجموع المرجّح هو الدرجة النهائية مباشرةً. الاختبار النهائي بوزن 50% يُحدد نتيجة الطالب تحديداً كبيراً.

مثال تطبيقي 3 — عائد المحفظة الاستثمارية

فئة الأصول	العائد	التخصيص
أسهم	12%	60%
صكوك وسندات	5%	30%
سيولة نقدية	1%	10%

عائد المحفظة: (12 × 0.60 + 5 × 0.30 + 1 × 0.10) ÷ 1.00 = 7.2 + 1.5 + 0.1 = 8.8%

المتوسط الحسابي البسيط (12 + 5 + 1) ÷ 3 = 6% خاطئ لأنه يتجاهل مقدار الأموال المستثمرة في كل فئة.

التعامل مع الأزواج غير المستخدمة

تدعم الحاسبة ما يصل إلى 5 أزواج. لاستخدام 3 أزواج فقط، اضبط أوزان الزوجين الباقيين على 0؛ فلا تؤثر الأزواج ذات الوزن الصفري في البسط ولا المقام. يجب أن يبقى مجموع الأوزان أكبر من صفر.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

كيف تُحدَّد الأوزان في المتوسط المرجّح؟

يعبّر الوزن عن الأهمية النسبية لكل قيمة. إذا كان الامتحان النهائي يساوي ضعف الاختبار الفصلي، يُعطى الامتحانُ النهائي وزناً 2 والاختبارُ الفصلي وزناً 1. تقسّم الصيغة تلقائياً على مجموع الأوزان، لذا لا تهم مقياس الأوزان؛ ما يهم فقط هو النسب بينها.

هل يجب أن يساوي مجموع الأوزان 1 أو 100%؟

لا. تقسّم الصيغة تلقائياً على مجموع الأوزان، لذا تعطي الأوزانُ 0.5/0.3/0.2 نفسَ نتيجة 5/3/2. استخدام النسب المئوية التي مجموعها 100 هو تقليد شائع لا أكثر.

ما الفرق بين المتوسط المرجّح والمتوسط الحسابي؟

يتطابق المتوسط المرجّح مع المتوسط الحسابي فقط حين تتساوى جميع الأوزان. حين تختلف، ينجذب الناتج نحو القيم ذات الأوزان الأكبر. مثال: للقيمتين 60 و90 متوسط حسابي 75؛ لكن إذا كان وزن 90 ثلاثة أضعاف، يصبح المتوسط المرجّح (60×1 + 90×3) ÷ 4 = 82.5.

ماذا يحدث إذا كان أحد الأوزان صفراً؟

لا تُسهم القيمة ذات الوزن الصفري في البسط ولا المقام، فتُستبعد من الحساب فعلياً. هذه هي الطريقة الموصى بها لتعطيل الأزواج غير المستخدمة. يجب أن يظل مجموع الأوزان أكبر من صفر؛ إذا كانت جميعها أصفاراً فالمتوسط المرجّح غير معرَّف وسيظهر خطأ.